Dada a EDO de 1ª Ordem
x d yd x=y+x e^y / x, x neq 0
(a) Verifique se tal EDO é Homogênea.
(b) Resolva tal EDO.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de 1ª ordem
x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}, x \neq 0. O conteúdo é EDO homogênea, pois queremos ver se podemos escrever dy/dx como função de y/x e depois resolver por substituição.

Passo 2

Primeiro, isole dy/dx dividindo tudo por x. Assim obtemos
dydx = yx + e^y/x
Observe que o lado direito depende apenas de v = y/x. Logo a EDO é homogênea.

Passo 3

Para resolver uma EDO homogênea fazemos a substituição v = y/x, logo y = x v. Calculamos dy/dx usando a regra do produto:
dydx = v + x dvdx

Passo 4

Substituindo na EDO original temos
v + x dvdx = yx + e^y/x = v + e^v
Cancelando v em ambos os lados resulta
x dvdx = e^v

Passo 5

Agora separamos as variáveis:
dve^v = dxx Longrightarrow e^-v dv = dxx
Integramos os dois lados:

Passo 6

Integração de cada lado dá
integral e^-v dv = integral dxx Longrightarrow -e^-v = ln|x| + C

Passo 7

Voltando a v = y/x obtemos a solução implícita
e^-y/x + ln|x| = C
Opcionalmente, podemos escrever de forma explícita isolando y: y = -x \ln\bigl(C - \ln|x|\bigr).

Resposta

e^{-y/x} + \ln|x| = C

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