Dada a EDO de 1ª Ordem
(a) Verifique se tal EDO é Homogênea.
(b) Resolva tal EDO.
(b) Resolva tal EDO.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de 1ª ordem
x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}, x \neq 0. O conteúdo é EDO homogênea, pois queremos ver se podemos escrever dy/dx como função de y/x e depois resolver por substituição.
x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}, x \neq 0. O conteúdo é EDO homogênea, pois queremos ver se podemos escrever dy/dx como função de y/x e depois resolver por substituição.
Passo 2
Primeiro, isole dy/dx dividindo tudo por x. Assim obtemos
Observe que o lado direito depende apenas de v = y/x. Logo a EDO é homogênea.
Passo 3
Para resolver uma EDO homogênea fazemos a substituição v = y/x, logo y = x v. Calculamos dy/dx usando a regra do produto:
Passo 4
Substituindo na EDO original temos
Cancelando v em ambos os lados resulta
Passo 5
Agora separamos as variáveis:
Integramos os dois lados:
Passo 6
Integração de cada lado dá
Passo 7
Voltando a v = y/x obtemos a solução implícita
Opcionalmente, podemos escrever de forma explícita isolando y: y = -x \ln\bigl(C - \ln|x|\bigr).
Resposta
e^{-y/x} + \ln|x| = C