Resolva o problema de valor inicial
c y^prime=x+yx-y, x>0 y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'=x+yx-y, x>0, y(1)=2
O conteúdo é EDO de primeira ordem homogênea (razão de termos de mesma grau), e vamos usar a substituição u=y/x.

Passo 2

Fazendo y=ux implica
y'=u+xdudx
Substituindo na EDO:
u + xdudx=x+uxx-ux=1+u1-u
Isolamos du/dx:
xdudx=1+u1-u-u=1+u^21-u

Passo 3

Separamos variáveis:
1-u1+u^2,du=dxx
Agora integramos ambos os lados:

Passo 4

Calculamos as integrais:
integral1-u1+u^2du=integraldxx
O lado esquerdo dá
integral11+u^2du-integralu1+u^2du=arctan(u)-tfrac12ln(1+u^2)
Logo
arctan(u)-tfrac12ln(1+u^2)=ln x + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial: em x=1, y=2 então u(1)=2. Assim
arctan(2)-tfrac12ln(1+2^2)=ln1 + C
Como ln1=0, segue
C=arctan(2)-tfrac12ln5

Passo 6

Substituindo C de volta obtemos a solução implícita final:
arctanl(yxr)-tfrac12lnl(1+l(yxr)^2r)=ln x +arctan(2)-tfrac12ln5

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(1)=2 é
arctanl(yxr)-tfrac12lnl(1+l(yxr)^2r)=ln x +arctan(2)-tfrac12ln5

Exercícios relacionados