Dada a EDO de 1^ a Ordem
x e^-y sen x d x-y d y=0
(a) Verifique se tal EDO é separável.
(b) Resolva tal EDO.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
x e^-ysin x,dx - y,dy = 0
e pede (a) verificar se ela é separável e (b) resolvê-la. O assunto é equação diferencial separável e vamos precisar rearranjar, separar variáveis e integrar.

Passo 2

Para checar separabilidade, escrevemos a EDO na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
identificando
M(x,y) = x e^-ysin x, N(x,y) = -y
Vemos que podemos agrupar termos só em x de um lado e só em y do outro.

Passo 3

Reorganizando a equação, movemos -y,dy para o outro lado:
x e^-ysin x,dx = y,dy
Em seguida multiplicamos ambos os lados por e^y para isolar x e y:
xsin x,dx = y e^y,dy

Passo 4

Agora montamos as integrais correspondentes aos dois lados separados:
integral xsin x,dx = integral y e^y,dy

Passo 5

Calculamos cada integral por partes:
Para o lado esquerdo, escolhemos u = x, dv = sin x,dx:
integral xsin x,dx = -xcos x + sin x + C1
Para o lado direito, escolhemos u = y, dv = e^y,dy:
integral y e^y,dy = y e^y - e^y + C2

Passo 6

Igualando as duas antiderivadas e reunindo C1 - C2 numa constante única C, obtemos uma solução implícita:
-xcos x + sin x = y e^y - e^y + C
e, reorganizando,
e^y(y - 1) + xcos x - sin x = C

Resposta

e^{y}(y - 1) + x\cos x - \sin x = C

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