Dada a EDO de
Ordem
(a) Verifique se tal EDO é separável.
(b) Resolva tal EDO.
(b) Resolva tal EDO.
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
e pede (a) verificar se ela é separável e (b) resolvê-la. O assunto é equação diferencial separável e vamos precisar rearranjar, separar variáveis e integrar.
Passo 2
Para checar separabilidade, escrevemos a EDO na forma
identificando
Vemos que podemos agrupar termos só em
de um lado e só em
do outro.
Passo 3
Reorganizando a equação, movemos
para o outro lado:
Em seguida multiplicamos ambos os lados por
para isolar x e y:
Passo 4
Agora montamos as integrais correspondentes aos dois lados separados:
Passo 5
Calculamos cada integral por partes:
Para o lado esquerdo, escolhemos
,
:
Para o lado direito, escolhemos
,
:
Passo 6
Igualando as duas antiderivadas e reunindo
numa constante única
, obtemos uma solução implícita:
e, reorganizando,
Resposta
e^{y}(y - 1) + x\cos x - \sin x = C