Dada a EDO de
Ordem
(a) Verifique se tal EDO é separável.
(b) Resolva tal EDO.
(b) Resolva tal EDO.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado nos apresenta. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve verificar se a EDO é separável, ou seja, se conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
para facilitar a integração.
Passo 2
Para verificar se a EDO é separável, precisamos reescrevê-la de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. Vamos tentar manipular a equação:
Primeiro, podemos dividir ambos os lados por
:
Simplificando a fração:
Observamos que os termos ainda estão misturados em
e
, o que indica que a equação não é separável. Portanto, precisamos procurar outro método para resolvê-la.
Passo 3
Como a EDO não é separável, vamos verificar se ela é exata. Uma EDO na forma
é exata se
.
Identificando
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
. Assumimos que o fator é
.
Multiplicando a equação original pelo fator integrante:
Para que a equação seja exata, deve-se ter:
Após resolver, encontramos que:
Passo 5
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
Para simplificar, consideramos que
, resultando em:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.