Dada a EDO de 1^ a Ordem
x y^4 d x+(y^2+1) e^-3 x d y=0
(a) Verifique se tal EDO é separável.
(b) Resolva tal EDO.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado nos apresenta. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
x y^4 dx + (y^2 + 1) e^-3x dy = 0
O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve verificar se a EDO é separável, ou seja, se conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem para facilitar a integração.

Passo 2

Para verificar se a EDO é separável, precisamos reescrevê-la de forma que todos os termos com x dx + (y^2 + 1y^4) e^-3x dy = 0 fiquem de um lado e os termos com x dx + (y^-2 + y^-4) e^-3x dy = 0 do outro. Vamos tentar manipular a equação:
Primeiro, podemos dividir ambos os lados por :
Simplificando a fração:
Observamos que os termos ainda estão misturados em e , o que indica que a equação não é separável. Portanto, precisamos procurar outro método para resolvê-la.

Passo 3

Como a EDO não é separável, vamos verificar se ela é exata. Uma EDO na forma M(x,y) = x y^4 N(x,y) = (y^2 + 1) e^-3x é exata se partial Mpartial y = 4x y^3 partial Npartial x = -3(y^2 + 1) e^-3x .
Identificando e :
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de mu(x) x y^4 dx + mu(x) (y^2 + 1) e^-3x dy = 0 . Assumimos que o fator é dmudx cdot (x y^4) + mu(x) cdot 4x y^3 = ddx [mu(x) (y^2 + 1) e^-3x] .
Multiplicando a equação original pelo fator integrante:
mu(x) = e^3x
Para que a equação seja exata, deve-se ter:
Após resolver, encontramos que:

Passo 5

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante e^3x x y^4 dx + e^3x (y^2 + 1) e^-3x dy = 0 Rightarrow e^3x x y^4 dx + (y^2 + 1) dy = 0 :
partial Psipartial x = e^3x x y^4 partial Psipartial y = y^2 + 1
Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função Psi(x,y) = integral e^3x x y^4 dx = y^43 e^3x (x - 13) + h(y) tal que:
4y^3 e^3x (x - 13) + h'(y) = y^2 + 1 h'(y) = y^2 + 1 - 4y^3 e^3x (x - 13)
Integrando Psi(x,y) = y^43 e^3x (x - 13) + y^33 + y + C em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Para simplificar, consideramos que , resultando em:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y^43 e^3x (x - 13) + y^33 + y = C
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados