Lembrando da fórmula de transformada de derivadas, calcule: L4 e^4 t cosh 7 t+7 e^4 t sinh 7 t (Sugestão: perceba que 4 e^4 t cosh 7 t+7 e^4 t sinh 7 t é a derivada de e^4 t cosh 7 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de 4e^4tcosh(7t)+7e^4tsinh(7t). O conteúdo principal aqui é a propriedade da transformada de derivadas, que diz que Lg'(t)=sG(s)-g(0).

Passo 2

Perceba que a função f(t)=4e^4tcosh(7t)+7e^4tsinh(7t) é exatamente a derivada de g(t)=e^4tcosh(7t). Vamos checar:
ddtl(e^4tcosh(7t)r)=4e^4tcosh(7t)+e^4tcdot7sinh(7t)

Passo 3

Agora precisamos da transformada G(s)=Le^4tcosh(7t). Usando a fórmula padrão Le^atcosh(bt)=s-a(s-a)^2-b^2, com a=4 e b=7, temos:
G(s)=s-4(s-4)^2-49

Passo 4

Como f(t)=g'(t), aplicamos Lg'(t)=sG(s)-g(0). Note que g(0)=e^0cosh(0)=1. Portanto
Lf(t)=scdots-4(s-4)^2-49-1

Passo 5

Basta simplificar essa expressão:
Lf(t)=s(s-4)-l((s-4)^2-49r)(s-4)^2-49 =4s+33(s-4)^2-49

Resposta

4s+33(s-4)^2-49

Exercícios relacionados