Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da seguinte EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método dos coeficientes a determinar. O enunciado nos dá a equação:
Vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas, encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (com o lado direito igual a zero) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes:
As raízes são complexas
, o que significa que a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos decompor o lado direito em duas partes:
e
. Vamos encontrar soluções particulares separadamente para cada uma.
Passo 5
Parte 1: Para o termo
Assumimos uma solução da forma:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para essa parte é:
Passo 6
Parte 2: Para o termo
Assumimos uma solução da forma:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Então, a solução particular para essa parte é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares encontradas: