Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução geral da seguinte EDO:
y^prime prime+4 y^prime+8 y=x+e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método dos coeficientes a determinar. O enunciado nos dá a equação:
y'' + 4y' + 8y = x + e^x
Vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares homogêneas e não homogêneas, encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (com o lado direito igual a zero) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 4y' + 8y = 0
Para isso, montamos a equação característica:
r^2 + 4r + 8 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes:
r = -4 pm raiz16 - 322 = -4 pm raiz-162 = -4 pm 4i2 = -2 pm 2i
As raízes são complexas -2 pm 2i, o que significa que a solução geral da equação homogênea é:
yh = e^-2x(C1 cos(2x) + C2 sin(2x))

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
y'' + 4y' + 8y = x + e^x
Vamos decompor o lado direito em duas partes: x e e^x. Vamos encontrar soluções particulares separadamente para cada uma.

Passo 5

Parte 1: Para o termo x
Assumimos uma solução da forma:
yp1 = Ax + B
Calculamos as derivadas:
yp1' = A
yp1'' = 0
Substituindo na equação homogênea:
0 + 4A + 8(Ax + B) = x
Simplificando:
8Ax + (4A + 8B) = x
Igualando os coeficientes:
8A = 1 implies A = 18
4A + 8B = 0 implies 4(18) + 8B = 0 implies 12 + 8B = 0 implies B = -116
Então, a solução particular para essa parte é:
yp1 = 18x - 116

Passo 6

Parte 2: Para o termo e^x
Assumimos uma solução da forma:
yp2 = Ce^x
Calculamos as derivadas:
yp2' = Ce^x
yp2'' = Ce^x
Substituindo na equação homogênea:
Ce^x + 4Ce^x + 8Ce^x = e^x
Simplificando:
(1 + 4 + 8)Ce^x = e^x implies 13Ce^x = e^x implies C = 113
Então, a solução particular para essa parte é:
yp2 = 113e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares encontradas:
y = e^-2x(C1 cos(2x) + C2 sin(2x)) + 18x - 116 + 113e^x

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