Dada a EDO de 1ª ^ a Ordem
y^prime=y^2-x^22 x y, x>0
(a) Verifique se tal EDO é Homogênea.
(b) Resolva tal EDO.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO de 1ª ordem y' = y^2 - x^22xy, com x>0, é homogênea e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos usar teoria de EDOs homogêneas e a substituição y = vx para transformar em uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Para checar homogeneidade, observe a função f(x,y)=y^2 - x^22xy Definindo v = y/x, temos f(x,y)=(y/x)^2 -12(y/x)=v^2 -12v, que depende apenas de v. Logo, f(tx,ty)=f(x,y) e a EDO é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo a substituição y= vx, a derivada fica y' = v + xdvdx Substituindo na EDO original:
v + xdvdx=v^2-12v

Passo 4

Isolando dv/dx obtemos
xdvdx=v^2-12v-v=v^2-1-2v^22v=-v^2+12v

Passo 5

Agora separamos variáveis:
2vdvv^2+1=-dxx

Passo 6

Integrando ambos os lados leva a
integral 2vdvv^2+1=-integraldxxLongrightarrow ln(v^2+1)=-ln x + C

Passo 7

Voltando a y e x com v=y/x, temos
lnl(y^2x^2+1r)=-ln x + CLongrightarrow ln(y^2+x^2)-ln x^2=-ln x + C

Passo 8

Simplificando logaritmos e exponenciando, chega-se à solução implícita
y^2 + x^2 = K,x, onde K=e^C é constante de integração.

Resposta

y^2 + x^2 = C,x

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