Dada a EDO
4 x^3 y d x+(x^4+2 y) d y=0
em R^2.
(a) Verifique se tal EDO é Exata.
(b) Resolva tal EDO.

Passo 1

Neste exercício, temos a EDO
4 x^3 y , dx + (x^4 + 2 y), dy = 0,
que é do tipo equação diferencial exata. Precisamos verificar a exatidão (checar se partial M/partial y = partial N/partial x) e, em seguida, encontrar a função potencial F(x,y) tal que dF = M,dx + N,dy, para obter a solução implícita.

Passo 2

Para verificar se a EDO é exata, identificamos M(x,y) = 4 x^3 y e N(x,y) = x^4 + 2 y. Calculamos
partial Mpartial y = 4 x^3,
partial Npartial x = 4 x^3
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial F(x,y). Integramos M em relação a x:
F(x,y) = integral 4 x^3 y, dx = x^4 y + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos partial F/partial y = N. Temos
partial Fpartial y = x^4 + h'(y)
e isso deve ser igual a N(x,y) = x^4 + 2 y. Logo,
h'(y) = 2 y
h(y) = integral 2 y, dy = y^2
Assim, a função potencial fica
F(x,y) = x^4 y + y^2

Passo 5

A solução geral da EDO exata é dada pela condição implícita
F(x,y) = C,
onde C é constante.

Resposta

x^4y + y^2 = C

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