Nos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede e quais conceitos precisamos usar. A questão nos solicita encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
Para resolver isso, vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para facilitar os cálculos. Colocamos os termos em ordem decrescente das derivadas:
Para simplificar, multiplicamos toda a equação por -1, assim o coeficiente da derivada de maior ordem fica positivo:
Passo 3
Assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, igualamos o polinômio a zero:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica:
Primeiro, fatoramos
:
Isso nos dá uma raiz:
. Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são
,
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, escrevemos a solução geral da equação diferencial:
Simplificando, já que
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: