Nos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.
14. y^(1)-4 y^prime prime prime+4 y^prime prime=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede e quais conceitos precisamos usar. A questão nos solicita encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial:
y' - 4 y''' + 4 y'' = 0
Para resolver isso, vamos utilizar o método das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para facilitar os cálculos. Colocamos os termos em ordem decrescente das derivadas:
-4 y''' + 4 y'' + y' = 0
Para simplificar, multiplicamos toda a equação por -1, assim o coeficiente da derivada de maior ordem fica positivo:
4 y''' - 4 y'' - y' = 0

Passo 3

Assumimos que a solução tem a forma y = e^rt, onde r é uma constante que precisamos encontrar. Calculando as derivadas:
y' = r e^rt, y'' = r^2 e^rt, y''' = r^3 e^rt
Substituindo na equação diferencial:
4 r^3 e^rt - 4 r^2 e^rt - r e^rt = 0
Podemos fatorar e^rt:
e^rt (4 r^3 - 4 r^2 - r) = 0
Como e^rt nunca é zero, igualamos o polinômio a zero:
4 r^3 - 4 r^2 - r = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação característica:
4 r^3 - 4 r^2 - r = 0
Primeiro, fatoramos r:
r (4 r^2 - 4 r -1) = 0
Isso nos dá uma raiz: r = 0. Agora, resolvemos a equação quadrática:
4 r^2 - 4 r -1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz16 + 168 = 4 pm raiz328 = 4 pm 4 raiz28 = 1 pm raiz22
Portanto, as raízes são r = 0, r = 1 + raiz22 e r = 1 - raiz22.

Passo 5

Com as raízes encontradas, escrevemos a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^0 cdot t + C2 e^1 + raiz22 t + C3 e^1 - raiz22 t
Simplificando, já que e^0 t = 1:
y(t) = C1 + C2 e^1 + raiz22 t + C3 e^1 - raiz22 t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 + C2 e^1 + raiz22 t + C3 e^1 - raiz22 t

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