Dado o problema de Valor Inicial
2 y d yd x=-4 x, com y(1)=0
Resolve esse PVI.

Passo 1

Vamos resolver o problema de Valor Inicial (PVI):
2 y d yd x = -4x, com y(1) = 0
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias, especificamente equações separáveis.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos separar as variáveis 2 y d yd x = -4x e y d yd x = -2x .
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y , dy = -2x , dx e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Explicação: Separar as variáveis significa reorganizar a equação de forma que todas as expressões com fiquem de um lado e todas as com fiquem do outro lado.

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
integral y , dy = integral -2x , dx
Teoria Aplicada: A integral de uma função de em relação a e a integral de uma função de em relação a são calculadas separadamente.

Passo 5

Calculando as integrais:
y^22 = -x^2 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar a expressão:
y^2 = -2x^2 + C'
Onde é uma nova constante de integração.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 0^2 = -2(1)^2 + C' 0 = -2 + C' C' = 2 para encontrar o valor de :

Passo 8

Substituímos y^2 = -2x^2 + 2 na equação geral:
y = raiz-2x^2 + 2
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = raiz2 - 2x^2

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