Dado o problema de Valor Inicial
Resolve esse PVI.
Passo 1
Vamos resolver o problema de Valor Inicial (PVI):
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais ordinárias, especificamente equações separáveis.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que possamos separar as variáveis
e
.
Podemos dividir ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Explicação: Separar as variáveis significa reorganizar a equação de forma que todas as expressões com
fiquem de um lado e todas as com
fiquem do outro lado.
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
Teoria Aplicada: A integral de uma função de
em relação a
e a integral de uma função de
em relação a
são calculadas separadamente.
Passo 5
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar a expressão:
Onde
é uma nova constante de integração.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 8
Substituímos
na equação geral:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução do PVI é: