Dada a EDO
(y cos (x y)+e^x) d x+(x cos (x y)+2 y) d y=0 (2)
Resolva a EDO (2) de forma organizada!

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(ycos(xy)+e^x),dx + (xcos(xy)+2y),dy = 0
O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos testar exatidão e depois achar a função potencial.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=ycos(xy)+e^x, N(x,y)=xcos(xy)+2y
Calculamos as derivadas parciais:
$$
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos(xy)-xy\sin(xy),
$$
partial Mpartial y=cos(xy)-xysin(xy),
Como partial Npartial x=cos(xy)-xysin(xy) , a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que psix=M. Integramos em relação a x:
psi(x,y)=integral(ycos(xy)+e^x),dx =integral ycos(xy),dx + integral e^x,dx = sin(xy)+e^x + h(y)

Passo 4

Para achar h(y), usamos psiy=N. Primeiro calculamos
psiy=partialpartial y[sin(xy)+e^x+h(y)] = xcos(xy)+h'(y)
Igualando a N=xcos(xy)+2y temos h'(y)=2y, logo
h(y)=y^2 + C

Passo 5

Substituindo de volta, a função potencial é
psi(x,y)=sin(xy)+e^x+y^2
e a solução geral implícita da EDO fica
sin(xy)+e^x+y^2=C

Resposta

sin(xy)+e^x+y^2=C

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