Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,-1) arcsen(x y+1)arctan (3 x y+3).

Passo 1

O enunciado pede calcular
É um limite de função de duas variáveis e vamos usar limites notáveis de funções elementares, em especial

Passo 2

Ao aproximar (x,y)to(1,-1), temos
xy+1 to 0 e 3xy+3 = 3(xy+1) to 0,
portanto numerador e denominador tendem a zero e ficamos com a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Para resolver, definimos
u = xy + 1,
de modo que a expressão original vira
e ao mesmo tempo arcsen(xy+1)arctan(3xy+3) = arcsen(u)arctan(3u) quando uto0.

Passo 4

Usando os limites notáveis para uto0, temos
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Resposta

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