Encontre o limite. Use a regra de LHôspital quando for apropriado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite quando $ x $ se aproxima de
para a expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites e usando a regra de L’Hôpital quando necessário. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar “inserir” o valor $ x = -1 $ na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente.
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que não podemos calcular o limite diretamente e precisamos usar uma técnica para resolver essa indeterminação. É aqui que a regra de L’Hôpital se torna útil.
Passo 3
A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite na forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
desde que o novo limite exista.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital ao nosso limite:
Calculamos as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas na expressão do limite:
Passo 6
Finalmente, substituímos $ x = -1 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.