Encontre o limite. Use a regra de LHôspital quando for apropriado.
(a) lim x -1 x^4-1x+1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite quando $ x $ se aproxima de x para a expressão:
-1
Aqui, estamos trabalhando com limites e usando a regra de L’Hôpital quando necessário. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar “inserir” o valor $ x = -1 $ na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente.
x = -1
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que não podemos calcular o limite diretamente e precisamos usar uma técnica para resolver essa indeterminação. É aqui que a regra de L’Hôpital se torna útil.

Passo 3

A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite na forma $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Ou seja:
00
desde que o novo limite exista.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital ao nosso limite:
f(x) = x^4 - 1 e g(x) = x + 1
Calculamos as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $:
f(x)

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas na expressão do limite:
limx to -1 4x^31 = limx to -1 4x^3

Passo 6

Finalmente, substituímos $ x = -1 $ na expressão simplificada:
x = -1

Resposta

O limite é igual a -4.

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