Dada a EDO homogênea de 2^ a ordem
9 d^2 yd x^2-12 d yd x+y=0
Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem:
9 d^2 yd x^2 - 12 d yd x + y = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs com coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, como essa, a gente assume que a solução tem a forma:
y = e^r x
Onde $ r $ é um número que precisamos descobrir. A ideia é substituir essa forma na equação original para encontrar $ r $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ y = e^{r x} $:
y = e^r x
d yd x = r e^r x
Agora, substituímos essas expressões na equação diferencial original:
d^2 yd x^2 = r^2 e^r x

Passo 4

Como $ e^{r x} $ nunca é zero, podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por $ e^{r x} $:
e^r x
Essa é a nossa equação característica.

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática:
9 r^2 - 12 r + 1 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 12 pm raiz(-12)^2 - 4 cdot 9 cdot 12 cdot 9 = 12 pm raiz144 - 3618 = 12 pm raiz10818
Simplificando a raiz quadrada:
raiz108 = raiz36 cdot 3 = 6 raiz3
Então:
r = 12 pm 6 raiz318 = 2 pm raiz33

Passo 6

Temos duas raízes reais e distintas:
r1 = 2 + raiz33
r2 = 2 - raiz33
Quando as raízes são reais e diferentes, a solução geral da EDO é:
y = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = C1 e^2 + raiz33 x + C2 e^2 - raiz33 x

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