Dada a EDO homogênea de
ordem
Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem:
Vamos resolver essa equação para encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de EDOs com coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, como essa, a gente assume que a solução tem a forma:
Onde $ r $ é um número que precisamos descobrir. A ideia é substituir essa forma na equação original para encontrar $ r $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ y = e^{r x} $:
Agora, substituímos essas expressões na equação diferencial original:
Passo 4
Como $ e^{r x} $ nunca é zero, podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por $ e^{r x} $:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Simplificando a raiz quadrada:
Então:
Passo 6
Temos duas raízes reais e distintas:
Quando as raízes são reais e diferentes, a solução geral da EDO é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da EDO é: