Dada a EDO homogênea de 2^ a ordem
4 d^2 yd x^2-4 d yd x+2 y=0
Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem, homogênea, que é:
4 d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 2 y = 0
O conteúdo que vamos usar envolve EDOs lineares de coeficientes constantes. Para resolver, precisamos entender como caracterizar a equação usando a equação característica e encontrar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a EDO em uma forma mais fácil de trabalhar. Sabemos que para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, podemos escrever a equação característica associada substituindo d^n yd x^n por r^n.
Então, substituindo:
4 r^2 - 4 r + 2 = 0

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. A equação é:
4 r^2 - 4 r + 2 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c 2 a
Aqui, a = 4, b = -4 e c = 2. Substituindo:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 4 cdot 22 cdot 4 = 4 pm raiz16 - 328 = 4 pm raiz-168

Passo 4

Percebemos que a raiz quadrada ficou com um número negativo, ou seja, temos raízes complexas. Isso significa que a solução geral da EDO vai envolver funções trigonométricas.
A parte imaginária da raiz é raiz16 = 4, então podemos escrever as raízes como:
r = 48 pm 4i8 = 12 pm i2

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma alpha pm beta i, a solução geral da EDO é dada por:
y(x) = e^alpha x (C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x))
No nosso caso, alpha = 12 e beta = 12. Então, substituindo:
y(x) = e^12x ( C1 cos(12x) + C2 sin(12x) )

Resposta

A solução geral da EDO dada é:
y(x) = e^12x ( C1 cos(12x) + C2 sin(12x) )

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