Dada a EDO homogênea de
ordem
Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem, homogênea, que é:
O conteúdo que vamos usar envolve EDOs lineares de coeficientes constantes. Para resolver, precisamos entender como caracterizar a equação usando a equação característica e encontrar suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a EDO em uma forma mais fácil de trabalhar. Sabemos que para uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, podemos escrever a equação característica associada substituindo
por
.
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Percebemos que a raiz quadrada ficou com um número negativo, ou seja, temos raízes complexas. Isso significa que a solução geral da EDO vai envolver funções trigonométricas.
A parte imaginária da raiz é
, então podemos escrever as raízes como:
Passo 5
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da EDO é dada por:
No nosso caso,
e
. Então, substituindo:
Resposta
A solução geral da EDO dada é: