Encontre o limite. Use a regra de LHôspital quando for apropriado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente de limites e aplicações da regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender o que é o cotangente e como aplicar a regra de L’Hôpital quando encontramos formas indeterminadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de cotangente. Sabemos que
. Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Observando o comportamento das funções trigonométricas perto de 0:
Portanto, tanto o numerador
quanto o denominador
tendem a 0 quando
. Isso nos dá uma forma indeterminada
, que é um sinal para usar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
A regra de L’Hôpital diz que, se temos um limite da forma
ou
, podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Então, vamos derivar
e
:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Substituindo as derivadas no limite, temos:
Agora, vamos avaliar esse limite substituindo
:
-
-
quando também é 0
Então:
Resposta
O limite é 1.