Encontre o limite. Use a regra de LHôspital quando for apropriado.
(i) lim x 0 x cot x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx 0 x cot x. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente de limites e aplicações da regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos precisar entender o que é o cotangente e como aplicar a regra de L’Hôpital quando encontramos formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando a definição de cotangente. Sabemos que cot x = cos xsin x. Então, a expressão original fica:
x cot x = x cdot cos xsin x = x cos xsin x

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de x cos xsin x quando x se aproxima de 0. Observando o comportamento das funções trigonométricas perto de 0:
  • cos 0 = 1
  • sin 0 = 0
Portanto, tanto o numerador x cos x quanto o denominador sin x tendem a 0 quando x 0. Isso nos dá uma forma indeterminada 00, que é um sinal para usar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

A regra de L’Hôpital diz que, se temos um limite da forma 00 ou inftyinfty, podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Então, vamos derivar x cos x e sin x:
  • Derivada do numerador x cos x:
ddx(x cos x) = cos x - x sin x
  • Derivada do denominador sin x:
ddx(sin x) = cos x

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite, temos:
limx 0 cos x - x sin xcos x
Agora, vamos avaliar esse limite substituindo x = 0:
  • cos 0 = 1
  • x sin x quando x = 0 também é 0
Então:
1 - 01 = 11 = 1

Resposta

O limite é 1.

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