Dada a EDO linear homogênea
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0
Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do tipo:
x^2 y'' - 3x y' + 4 y = 0
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar pelo menos duas soluções diferentes usando o princípio da superposição. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver EDOs lineares homogêneas, especialmente as que têm coeficientes que são potências de $ x $, conhecidas como equações de Cauchy-Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
x^2 y'' + a x y' + b y = 0,
onde $ a $ e $ b $ são constantes. A vantagem de identificar isso é que podemos usar uma solução assumida na forma $ y = x^{r} $, onde $ r $ é um número que a gente vai descobrir.

Passo 3

Vamos assumir que a solução tem a forma:
y = x^r
Com essa suposição, precisamos encontrar os valores de $ r $ que satisfazem a equação original. Para isso, vamos calcular as derivadas de $ y $.

Passo 4

Calculando as derivadas:
y' = r x^r-1,
y'' = r (r - 1) x^r-2

Passo 5

Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
y
Simplificando cada termo:
y'

Passo 6

Fatorando $ x^{r} $ da equação:
x^r
Isso nos dá a equação característica:
x^r [r (r - 1) - 3r + 4] = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 4r + 4 = 0,
usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz16 - 162 = 4 pm 02 = 2
Então, temos uma raiz dupla $ r = 2 $.

Passo 8

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais ($ r_1 = r_2 = 2 $), as soluções são:
r1 = r2 = 2
e
y1 = x^2,
Essas duas soluções são linearmente independentes, então podemos usar o princípio da superposição para escrever a solução geral como uma combinação linear delas.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = C1 x^2 + C2 x^2 ln x,
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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