Dada a EDO linear homogênea
Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do tipo:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar pelo menos duas soluções diferentes usando o princípio da superposição. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver EDOs lineares homogêneas, especialmente as que têm coeficientes que são potências de $ x $, conhecidas como equações de Cauchy-Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
onde $ a $ e $ b $ são constantes. A vantagem de identificar isso é que podemos usar uma solução assumida na forma $ y = x^{r} $, onde $ r $ é um número que a gente vai descobrir.
Passo 3
Vamos assumir que a solução tem a forma:
Com essa suposição, precisamos encontrar os valores de $ r $ que satisfazem a equação original. Para isso, vamos calcular as derivadas de $ y $.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Fatorando $ x^{r} $ da equação:
Isso nos dá a equação característica:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática:
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla $ r = 2 $.
Passo 8
Quando a equação característica tem raízes reais e iguais ($ r_1 = r_2 = 2 $), as soluções são:
e
Essas duas soluções são linearmente independentes, então podemos usar o princípio da superposição para escrever a solução geral como uma combinação linear delas.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.