Dada a EDO linear homogênea
Verifique se as funções
satisfaz a EDO em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do tipo:
E precisamos verificar se as funções $ y_{1}(x) = x $, $ y_{2}(x) = x^{2} $ e $ y_{3}(x) = \frac{1}{x} $ são soluções dessa equação no intervalo $ (0, \infty) $. Para isso, vamos substituir cada função na EDO e ver se a equação se mantém verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser solução da EDO. Basicamente, a gente substitui a função $ y $ e suas derivadas na equação e verifica se o resultado é igual a zero. Se for, então a função é uma solução da EDO.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função, $ y_{1}(x) = x $.
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y_{1}(x) $ e suas derivadas na EDO:
Como a expressão resultou em zero, $ y_{1}(x) = x $ é uma solução da EDO.
Passo 5
Vamos verificar agora a segunda função, $ y_{2}(x) = x^{2} $.
Calculando as derivadas:
Passo 6
Substituindo $ y_{2}(x) $ e suas derivadas na EDO:
Como o resultado não é zero ($ -4x^{2} \neq 0 $), $ y_{2}(x) = x^{2} $ não é uma solução da EDO.
Passo 7
Por último, vamos verificar a terceira função, $ y_{3}(x) = \frac{1}{x} $.
Calculando as derivadas:
Passo 8
Substituindo $ y_{3}(x) $ e suas derivadas na EDO:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Como a expressão final não é zero ($ -4/x \neq 0 $), $ y_{3}(x) = \frac{1}{x} $ não é uma solução da EDO.
Resposta
A única função que satisfaz a EDO é $ y_{1}(x) = x $.