Dada a EDO linear homogênea
x^3 y^prime prime prime-x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0
Verifique se as funções y1(x)=x, y2(x)=x^2, y3(x)=1 / x satisfaz a EDO em (0, infty).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do tipo:
x^3 y''' - x^2 y'' - 2x y' + 2 y = 0
E precisamos verificar se as funções $ y_{1}(x) = x $, $ y_{2}(x) = x^{2} $ e $ y_{3}(x) = \frac{1}{x} $ são soluções dessa equação no intervalo $ (0, \infty) $. Para isso, vamos substituir cada função na EDO e ver se a equação se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser solução da EDO. Basicamente, a gente substitui a função $ y $ e suas derivadas na equação e verifica se o resultado é igual a zero. Se for, então a função é uma solução da EDO.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função, $ y_{1}(x) = x $.
Calculando as derivadas:
y1(x) = x
y1'(x) = 1
y1''(x) = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y_{1}(x) $ e suas derivadas na EDO:
y1(x)
Como a expressão resultou em zero, $ y_{1}(x) = x $ é uma solução da EDO.

Passo 5

Vamos verificar agora a segunda função, $ y_{2}(x) = x^{2} $.
Calculando as derivadas:
y2(x) = x^2
y2'(x) = 2x
y2''(x) = 2

Passo 6

Substituindo $ y_{2}(x) $ e suas derivadas na EDO:
y2(x)
Como o resultado não é zero ($ -4x^{2} \neq 0 $), $ y_{2}(x) = x^{2} $ não é uma solução da EDO.

Passo 7

Por último, vamos verificar a terceira função, $ y_{3}(x) = \frac{1}{x} $.
Calculando as derivadas:
y3(x) = 1x
y3'(x) = -1x^2
y3''(x) = 2x^3

Passo 8

Substituindo $ y_{3}(x) $ e suas derivadas na EDO:
y3(x)
Simplificando cada termo:
x^3(-6x^4) - x^2(2x^3) - 2x(-1x^2) + 2(1x)
- 6x^3x^4 = -6x
- 2x^2x^3 = -2x
-2x cdot (-1x^2) = 2x
Somando tudo:
2 cdot 1x = 2x
Como a expressão final não é zero ($ -4/x \neq 0 $), $ y_{3}(x) = \frac{1}{x} $ não é uma solução da EDO.

Resposta

A única função que satisfaz a EDO é $ y_{1}(x) = x $.

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