Verificar se a seguinte integral converge:
integral0^infty cos (t) e^-t d t;

Passo 1

Estamos analisando a integral imprópria
integral0^infty cos(t),e^-t,dt
O conteúdo aqui é convergência de integrais impróprias. Para verificar a convergência, vamos usar o teste de comparação e também calcular o valor exato usando uma fórmula padrão.

Passo 2

Primeiro aplicamos o teste de comparação absoluto. Como
$ |\cos(t),e^{-t}| = |\cos(t)|,e^{-t} \le e^{-t} $ e sabemos que
|cos(t),e^-t| = |cos(t)|,e^-t <= e^-t
é convergente, a nossa integral converge absolutamente.

Passo 3

Para obter o valor exato, podemos usar a fórmula
integral0^infty e^-atcos(bt),dt = aa^2 + b^2, a>0
Aqui temos a=1 e b=1, então a integral vale
11^2 + 1^2 = 12

Resposta

A integral converge absolutamente e seu valor é tfrac12.

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