Verificar se a seguinte integral converge:
;
Passo 1
Estamos analisando a integral imprópria
O conteúdo aqui é convergência de integrais impróprias. Para verificar a convergência, vamos usar o teste de comparação e também calcular o valor exato usando uma fórmula padrão.
Passo 2
Primeiro aplicamos o teste de comparação absoluto. Como
$ |\cos(t),e^{-t}| = |\cos(t)|,e^{-t} \le e^{-t} $ e sabemos que
$ |\cos(t),e^{-t}| = |\cos(t)|,e^{-t} \le e^{-t} $ e sabemos que
é convergente, a nossa integral converge absolutamente.
Passo 3
Para obter o valor exato, podemos usar a fórmula
Aqui temos
e
, então a integral vale
Resposta
A integral converge absolutamente e seu valor é
.