Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função.
(d) y=x^sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para achar a derivada da função $ y = x^{\sin x} $ usando derivação logarítmica. Isso significa que vamos usar propriedades dos logaritmos para facilitar a diferenciação. Para isso, vamos precisar saber sobre logaritmos, regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Isso ajuda a simplificar a função que tem uma variável no expoente. Então:
ln y = ln(x^sin x)

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que $ \ln(a^b) = b \cdot \ln a $. Aplicando isso:
ln(a^b) = b cdot ln a

Passo 4

Em seguida, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia. No lado direito, usamos a regra do produto, já que temos um produto de duas funções: $ \sin x $ e $ \ln x $.
x
sin x

Passo 5

Agora, isolamos $ \frac{dy}{dx} $ multiplicando ambos os lados por $ y $:
dydx

Passo 6

Lembre que $ y = x^{\sin x} $. Vamos substituir de volta na equação:
y = x^sin x

Resposta

A derivada da função é:
dydx = x^sin x ( cos x cdot ln x + sin xx )

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