Dada a EDO linear Homogênea
Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear e homogênea. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos usar o princípio da superposição, que basicamente nos permite combinar soluções diferentes para encontrar soluções gerais. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar suas soluções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Perceba que ela tem coeficientes que dependem de $ x $. Isso pode complicar um pouco, mas vamos seguir passo a passo.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Isso nos mostra que a equação está relacionada às derivadas de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 4
Agora, para resolver essa EDO, vamos assumir uma solução da forma $ y = x^k $, onde $ k $ é um número que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum para equações diferenciais com coeficientes polinomiais.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de $ y = x^k $:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora, somando todos os termos:
Fatorando $ x^k $:
Como $ x^k $ nunca é zero (exceto em $ x=0 $, que geralmente não consideramos aqui), vamos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 8
Vamos expandir e simplificar a equação:
Então:
Passo 9
Agora, temos a equação cúbica:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando $ k = 1 $:
Testando $ k = 2 $:
Legal, $ k = 2 $ é uma raiz. Então, podemos fatorar a equação:
Resolvendo $ k^2 - k - 2 = 0 $:
Então, as raízes são $ k = 2 $ (dupla raiz) e $ k = -1 $.
Passo 10
Então, temos soluções básicas da forma:
Como a raiz $ k = 2 $ é dupla, precisamos de uma solução adicional. Geralmente, para raízes múltiplas, multiplicamos por $ \ln(x) $. Então, a terceira solução é:
Passo 11
Aplicando o princípio da superposição, a solução geral da EDO é uma combinação linear dessas soluções:
Onde $ C_1, C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
Duas soluções diferentes para a equação dada são:
e