Dada a EDO linear Homogênea
x^3 y^prime prime prime-2 x y^prime+4 y=0
Utilize o princípio da superposição e exiba pelos menos duas soluções diferentes das duas soluções dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear e homogênea. A equação que temos é:
x^3 y''' - 2x y' + 4y = 0
Para resolver isso, vamos usar o princípio da superposição, que basicamente nos permite combinar soluções diferentes para encontrar soluções gerais. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como encontrar suas soluções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Perceba que ela tem coeficientes que dependem de $ x $. Isso pode complicar um pouco, mas vamos seguir passo a passo.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
y''' = 2x y' - 4yx^3
Isso nos mostra que a equação está relacionada às derivadas de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 4

Agora, para resolver essa EDO, vamos assumir uma solução da forma $ y = x^k $, onde $ k $ é um número que precisamos determinar. Essa é uma técnica comum para equações diferenciais com coeficientes polinomiais.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ y = x^k $:
y = x^k

Passo 6

Substituindo essas derivadas na equação original:
x^3 cdot k(k-1)(k-2) x^k-3 - 2x cdot k x^k-1 + 4x^k = 0
Simplificando cada termo:
x^3 cdot k(k-1)(k-2) x^k-3 &= k(k-1)(k-2) x^k -2x cdot k x^k-1 &= -2k x^k 4x^k &= 4x^k

Passo 7

Agora, somando todos os termos:
k(k-1)(k-2) x^k - 2k x^k + 4x^k = 0
Fatorando $ x^k $:
x^k
Como $ x^k $ nunca é zero (exceto em $ x=0 $, que geralmente não consideramos aqui), vamos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
x^k [k(k-1)(k-2) - 2k + 4] = 0

Passo 8

Vamos expandir e simplificar a equação:
k(k-1)(k-2) &= k(k^2 - 3k + 2) &= k^3 - 3k^2 + 2k
Então:
k^3 - 3k^2 + 2k - 2k + 4 = k^3 - 3k^2 + 4 = 0

Passo 9

Agora, temos a equação cúbica:
k^3 - 3k^2 + 4 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando $ k = 1 $:
k = 1
Testando $ k = 2 $:
1 - 3 + 4 = 2 neq 0
Legal, $ k = 2 $ é uma raiz. Então, podemos fatorar a equação:
k = 2
Resolvendo $ k^2 - k - 2 = 0 $:
8 - 12 + 4 = 0
Então, as raízes são $ k = 2 $ (dupla raiz) e $ k = -1 $.

Passo 10

Então, temos soluções básicas da forma:
y1 &= x^2 y2 &= x^-1
Como a raiz $ k = 2 $ é dupla, precisamos de uma solução adicional. Geralmente, para raízes múltiplas, multiplicamos por $ \ln(x) $. Então, a terceira solução é:
k = 2

Passo 11

Aplicando o princípio da superposição, a solução geral da EDO é uma combinação linear dessas soluções:
y = C1 x^2 + C2 x^-1 + C3 ln(x) cdot x^2
Onde $ C_1, C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

Duas soluções diferentes para a equação dada são:
y1 = x^2
e
y2 = ln(x) cdot x^2

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