O polinômio de Taylor de grau
de uma função
, classe
, na vizinhança de um ponto
é dado por
.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
quando:
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função $ f(x) = \sin x $ em torno de $ a = 0 $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente das séries de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ \sin x $ até a terceira ordem e avaliar essas derivadas no ponto $ a = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função suave perto de um ponto específico, usando derivadas dessa função nesse ponto. No nosso caso, queremos até o termo de terceiro grau.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sin x $ até a terceira ordem:
- Primeira derivada: $ f’(x) = \cos x $
- Segunda derivada: $ f’’(x) = -\sin x $
- Terceira derivada: $ f’’’(x) = -\cos x $
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ a = 0 $:
- $ f(0) = \sin 0 = 0 $
- $ f’(0) = \cos 0 = 1 $
- $ f’’(0) = -\sin 0 = 0 $
- $ f’’’(0) = -\cos 0 = -1 $
Passo 5
Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 3 usando a fórmula:
Substituindo $ a = 0 $:
Passo 6
Simplificando os termos:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = \sin x $ em torno de $ a = 0 $ é: