O polinômio de Taylor de grau n de uma função f, classe C^n, na vizinhança de um ponto a in Dom(f) é dado por
pn(x)=f(a)+f^prime(a)(x-a)+f^prime prime(a)2 !(x-a)^2+f^prime prime prime(a)3 !(x-a)^3+ldots+f^(n)(a)n !(x-a)^n.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de a quando:
(c) f(x)=sen x, a=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função $ f(x) = \sin x $ em torno de $ a = 0 $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente das séries de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de $ \sin x $ até a terceira ordem e avaliar essas derivadas no ponto $ a = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função suave perto de um ponto específico, usando derivadas dessa função nesse ponto. No nosso caso, queremos até o termo de terceiro grau.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sin x $ até a terceira ordem:
  1. Primeira derivada: $ f’(x) = \cos x $
  2. Segunda derivada: $ f’’(x) = -\sin x $
  3. Terceira derivada: $ f’’’(x) = -\cos x $

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ a = 0 $:
  1. $ f(0) = \sin 0 = 0 $
  2. $ f’(0) = \cos 0 = 1 $
  3. $ f’’(0) = -\sin 0 = 0 $
  4. $ f’’’(0) = -\cos 0 = -1 $

Passo 5

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 3 usando a fórmula:
p3(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3
Substituindo $ a = 0 $:
a = 0

Passo 6

Simplificando os termos:
p3(x) = x - 16 x^3

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = \sin x $ em torno de $ a = 0 $ é:
f(x) = sin x

Exercícios relacionados