Encontre o limite. Use a regra de LHôspital quando for apropriado.
(f) lim x 0 3 x cossec x

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que encontrar o limite de $ 3x \cdot cossec,x $ quando $ x $ se aproxima de 0. Vamos usar o conteúdo de limites e a regra de L’Hôpital para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ cossec,x $. A cossecante é o mesmo que a cosecante, que é o inverso do seno. Então, $ cossec,x = \frac{1}{\sin x} $. Assim, nosso limite fica:
cossec,x

Passo 3

Agora, vamos tentar substituir $ x = 0 $ na expressão:
x = 0
Isso é uma forma indeterminada, então a gente pode usar a regra de L’Hôpital, que funciona quando temos uma forma 3 cdot 0sin 0 = 00 ou 00.

Passo 4

Para aplicar a regra de L’Hôpital, a gente deriva o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador: ddx(3x) = 3
Derivada do denominador: ddx(sin x) = cos x
Então, o limite fica:
limx to 0 3cos x

Passo 5

Agora, substituindo $ x = 0 $ nessa nova expressão:
x = 0

Resposta

O limite é igual a $ 3 $.

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