Dada a EDO linear Homogênea
x^3 y^prime prime prime-2 x y^prime+4 y=0
Verifique se as funções y1(x)=x^2 e y2(x)=x^2 ln x satisfazem essa EDO dada em (0, infty).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do terceiro grau. O objetivo é verificar se as funções $ y_1(x) = x^{2} $ e $ y_2(x) = x^{2} \ln x $ satisfazem essa EDO no intervalo y1(x) = x^2 . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções até a terceira ordem e substituí-las na equação para ver se ela se iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a função $ y_1(x) = x^{2} $. Precisamos encontrar $ y_1’ $, $ y_1’’ $ e $ y_1’’’ $.
  • $ y_1(x) = x^{2} $
  • Derivada primeira: $ y_1’(x) = 2x $
  • Derivada segunda: $ y_1’’(x) = 2 $
  • Derivada terceira: $ y_1’’’(x) = 0 $

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na EDO dada:
x^3 y''' - 2x y' + 4 y = 0
Substituindo $ y’’’ = 0 $, $ y’ = 2x $ e $ y = x^{2} $:
y''' = 0
Como a equação se iguala a zero, a função $ y_1(x) = x^{2} $ satisfaz a EDO.

Passo 4

Agora, vamos verificar a função $ y_2(x) = x^{2} \ln x $. Precisamos calcular suas derivadas até a terceira ordem.
  • $ y_2(x) = x^{2} \ln x $
Primeira derivada usando a regra do produto:
y2(x) = x^2 ln x
Segunda derivada:
y2(x) = x^2 ln x
Terceira derivada:
y2'(x) = 2x ln x + x^2 cdot 1x = 2x ln x + x

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na EDO:
x^3 y''' - 2x y' + 4 y = 0
Substituindo $ y’’’ = \frac{2}{x} $, $ y’ = 2x \ln x + x $ e $ y = x^{2} \ln x $:
y''' = 2x
Simplificando:
y' = 2x ln x + x
Então, a equação também se iguala a zero para $ y_2(x) = x^{2} \ln x $.

Resposta

Ambas as funções $ y_{1}(x) = x^{2} $ e $ y_{2}(x) = x^{2} \ln x $ satisfazem a EDO dada para todo $ x $ no intervalo y1(x) = x^2 .

Exercícios relacionados