Dada a EDO linear Homogênea
Verifique se as funções
e
satisfazem essa EDO dada em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do terceiro grau. O objetivo é verificar se as funções $ y_1(x) = x^{2} $ e $ y_2(x) = x^{2} \ln x $ satisfazem essa EDO no intervalo
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções até a terceira ordem e substituí-las na equação para ver se ela se iguala a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a função $ y_1(x) = x^{2} $. Precisamos encontrar $ y_1’ $, $ y_1’’ $ e $ y_1’’’ $.
- $ y_1(x) = x^{2} $
- Derivada primeira: $ y_1’(x) = 2x $
- Derivada segunda: $ y_1’’(x) = 2 $
- Derivada terceira: $ y_1’’’(x) = 0 $
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na EDO dada:
Substituindo $ y’’’ = 0 $, $ y’ = 2x $ e $ y = x^{2} $:
Como a equação se iguala a zero, a função $ y_1(x) = x^{2} $ satisfaz a EDO.
Passo 4
Agora, vamos verificar a função $ y_2(x) = x^{2} \ln x $. Precisamos calcular suas derivadas até a terceira ordem.
- $ y_2(x) = x^{2} \ln x $
Primeira derivada usando a regra do produto:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na EDO:
Substituindo $ y’’’ = \frac{2}{x} $, $ y’ = 2x \ln x + x $ e $ y = x^{2} \ln x $:
Simplificando:
Então, a equação também se iguala a zero para $ y_2(x) = x^{2} \ln x $.
Resposta
Ambas as funções $ y_{1}(x) = x^{2} $ e $ y_{2}(x) = x^{2} \ln x $ satisfazem a EDO dada para todo $ x $ no intervalo
.