Para cada uma das funções abaixo, encontre: (i) os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente; (ii) os valores de máximo e mínimo local de f; (iii) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f(x)=x^6+192 x+17

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^{6} + 192x + 17 $ e precisa descobrir três coisas:
  1. Onde a função está aumentando ou diminuindo.
  2. Os pontos onde a função tem máximos e mínimos locais.
  3. Onde a função é côncava para cima ou para baixo e os pontos de inflexão.
Vamos usar cálculo diferencial para resolver tudo isso, ou seja, vamos tirar as derivadas da função e analisar os sinais delas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo. A derivada de $ x^{6} $ é $ 6x^{5} $ e a de $ 192x $ é $ 192 $. A derivada de uma constante como 17 é zero. Então:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. Nossa derivada $ f’(x) = 6x^{5} + 192 $ é um polinômio, que sempre existe para todo $ x $, então só vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
x
Então, temos um ponto crítico em $ x = -2 $.

Passo 4

Vamos ver onde a função está aumentando ou diminuindo olhando o sinal da primeira derivada $ f’(x) $.
  • Para $ x < -2 $, por exemplo, $ x = -3 $:
f'(x)
  • Para $ x > -2 $, por exemplo, $ x = 0 $:
x < -2
Então, a função está diminuindo quando $ x < -2 $ e aumentando quando $ x > -2 $.

Passo 5

Como a função muda de decrescente para crescente em $ x = -2 $, isso significa que temos um ponto mínimo local em $ x = -2 $. Para encontrar o valor mínimo, substituímos $ x = -2 $ na função original:
x = -2
Então, o mínimo local é $ (-2, -303) $.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda derivada para analisar a concavidade. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada $ f’(x) = 6x^{5} + 192 $:
f'(x) = 6x^5 + 192

Passo 7

Vamos encontrar os possíveis pontos de inflexão resolvendo $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
Então, temos um ponto possível de inflexão em $ x = 0 $.

Passo 8

Vamos analisar o sinal da segunda derivada para ver a concavidade:
  • Para $ x < 0 $, por exemplo, $ x = -1 $:
x < 0
  • Para $ x > 0 $, por exemplo, $ x = 1 $:
x = -1
A segunda derivada é sempre positiva, exceto em $ x = 0 $, onde é zero. Isso significa que a função é côncava para cima em todos os lugares e não muda a concavidade, então não há pontos de inflexão.

Passo 9

Como a concavidade não muda, não há pontos de inflexão na função.

Resposta

  1. Crescimento e Decrescimento:
    • A função está decrescente para $ x < -2 $.
    • A função está crescente para $ x > -2 $.
  2. Máximos e Mínimos Locais:
    • A função tem um mínimo local em $ (-2, -303) $.
    • Não há máximos locais.
  3. Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • A função é côncava para cima em todo o domínio.
    • Não há pontos de inflexão.

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