Para cada uma das funções abaixo, encontre:
os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente;
os valores de máximo e mínimo local de
;
os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^{6} + 192x + 17 $ e precisa descobrir três coisas:
- Onde a função está aumentando ou diminuindo.
- Os pontos onde a função tem máximos e mínimos locais.
- Onde a função é côncava para cima ou para baixo e os pontos de inflexão.
Vamos usar cálculo diferencial para resolver tudo isso, ou seja, vamos tirar as derivadas da função e analisar os sinais delas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo. A derivada de $ x^{6} $ é $ 6x^{5} $ e a de $ 192x $ é $ 192 $. A derivada de uma constante como 17 é zero. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. Nossa derivada $ f’(x) = 6x^{5} + 192 $ é um polinômio, que sempre existe para todo $ x $, então só vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Então, temos um ponto crítico em $ x = -2 $.
Passo 4
Vamos ver onde a função está aumentando ou diminuindo olhando o sinal da primeira derivada $ f’(x) $.
- Para $ x < -2 $, por exemplo, $ x = -3 $:
- Para $ x > -2 $, por exemplo, $ x = 0 $:
Então, a função está diminuindo quando $ x < -2 $ e aumentando quando $ x > -2 $.
Passo 5
Como a função muda de decrescente para crescente em $ x = -2 $, isso significa que temos um ponto mínimo local em $ x = -2 $. Para encontrar o valor mínimo, substituímos $ x = -2 $ na função original:
Então, o mínimo local é $ (-2, -303) $.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda derivada para analisar a concavidade. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada $ f’(x) = 6x^{5} + 192 $:
Passo 7
Vamos encontrar os possíveis pontos de inflexão resolvendo $ f’’(x) = 0 $:
Então, temos um ponto possível de inflexão em $ x = 0 $.
Passo 8
Vamos analisar o sinal da segunda derivada para ver a concavidade:
- Para $ x < 0 $, por exemplo, $ x = -1 $:
- Para $ x > 0 $, por exemplo, $ x = 1 $:
A segunda derivada é sempre positiva, exceto em $ x = 0 $, onde é zero. Isso significa que a função é côncava para cima em todos os lugares e não muda a concavidade, então não há pontos de inflexão.
Passo 9
Como a concavidade não muda, não há pontos de inflexão na função.
Resposta
-
Crescimento e Decrescimento:
- A função está decrescente para $ x < -2 $.
- A função está crescente para $ x > -2 $.
-
Máximos e Mínimos Locais:
- A função tem um mínimo local em $ (-2, -303) $.
- Não há máximos locais.
-
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- A função é côncava para cima em todo o domínio.
- Não há pontos de inflexão.