Dada a EDO linear homogênea
x y^prime prime prime-y^prime prime=0
Verifique se as funções y1(x)=1, y2(x)=x, y3(x)=x^3 satisfaz a EDO em (-infty, infty).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do tipo:
x, y''' - y'' = 0
Nosso objetivo aqui é verificar se as funções $ y_1(x) = 1 $, $ y_2(x) = x $ e $ y_3(x) = x^3 $ satisfazem essa equação para todo $ x $ no intervalo $ (-\infty, \infty) $. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras, segundas e terceiras derivadas de cada função e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função, $ y_1(x) = 1 $.
Primeiro, calculamos as derivadas:
  • Primeira derivada:
    y1(x) = 1
  • Segunda derivada:
    y1' = 0
  • Terceira derivada:
    y1'' = 0
Agora, substituímos na EDO:
y1''' = 0
Então, para $ y_1(x) = 1 $, a EDO é satisfeita, já que $ 0 = 0 $.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda função, $ y_2(x) = x $.
Calculando as derivadas:
  • Primeira derivada:
    y2(x) = x
  • Segunda derivada:
    y2' = 1
  • Terceira derivada:
    y2'' = 0
Substituindo na EDO:
y2''' = 0
Portanto, $ y_2(x) = x $ também satisfaz a EDO, pois $ 0 = 0 $.

Passo 4

Por fim, vamos verificar a terceira função, $ y_3(x) = x^3 $.
Calculando as derivadas:
  • Primeira derivada:
    y3(x) = x^3
  • Segunda derivada:
    y3' = 3x^2
  • Terceira derivada:
    y3'' = 6x
Substituindo na EDO:
y3''' = 6
Assim, $ y_3(x) = x^3 $ também satisfaz a EDO, já que $ 0 = 0 $.

Resposta

Todas as funções $ y_1(x) = 1 $, $ y_2(x) = x $ e $ y_3(x) = x^3 $ satisfazem a equação diferencial $ x, y’’’ - y’’ = 0 $ para todo $ x $ em $ (-\infty, \infty) $.

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