Dada a EDO linear homogênea
Verifique se as funções
satisfaz a EDO em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea do tipo:
Nosso objetivo aqui é verificar se as funções $ y_1(x) = 1 $, $ y_2(x) = x $ e $ y_3(x) = x^3 $ satisfazem essa equação para todo $ x $ no intervalo $ (-\infty, \infty) $. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras, segundas e terceiras derivadas de cada função e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função, $ y_1(x) = 1 $.
Primeiro, calculamos as derivadas:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Agora, substituímos na EDO:
Então, para $ y_1(x) = 1 $, a EDO é satisfeita, já que $ 0 = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda função, $ y_2(x) = x $.
Calculando as derivadas:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Substituindo na EDO:
Portanto, $ y_2(x) = x $ também satisfaz a EDO, pois $ 0 = 0 $.
Passo 4
Por fim, vamos verificar a terceira função, $ y_3(x) = x^3 $.
Calculando as derivadas:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
Substituindo na EDO:
Assim, $ y_3(x) = x^3 $ também satisfaz a EDO, já que $ 0 = 0 $.
Resposta
Todas as funções $ y_1(x) = 1 $, $ y_2(x) = x $ e $ y_3(x) = x^3 $ satisfazem a equação diferencial $ x, y’’’ - y’’ = 0 $ para todo $ x $ em $ (-\infty, \infty) $.