Dada a EDO linear homogênea
Verifique se essas funções do item (a) são um sistema fundamental de soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é verificar se as funções fornecidas no item (a) formam um sistema fundamental de soluções para essa EDO. Isso significa que a gente precisa checar se essas funções são soluções da equação e se elas são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar usar um pouco de teoria sobre EDOs lineares e o conceito de Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um sistema fundamental de soluções. Em uma EDO de ordem $ n $, um sistema fundamental de soluções é um conjunto de $ n $ soluções que são linearmente independentes. Ter esse sistema é importante porque qualquer solução geral da EDO pode ser escrita como uma combinação linear dessas soluções fundamentais.
Passo 3
Agora, para verificar se as funções dadas são um sistema fundamental, precisamos checar duas coisas:
- Soluções da EDO: Cada função fornecida deve satisfazer a equação diferencial.
- Linearmente independentes: As funções não podem ser escritas como combinações lineares umas das outras.
Vamos focar no segundo ponto usando o Wronskiano. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar a independência linear das funções. Se o Wronskiano das funções for diferente de zero em algum ponto do intervalo considerado, então as funções são linearmente independentes.
Passo 4
Para calcular o Wronskiano, vamos supor que as funções dadas no item (a) são $ y_1(x) $, $ y_2(x) $ e $ y_3(x) $. O Wronskiano $ W $ dessas funções é definido como:
Vamos calcular esse determinante. Se $ W \neq 0 $ para algum $ x $ no intervalo considerado, então $ y_1, y_2, y_3 $ são linearmente independentes.
Passo 5
Depois de calcular o Wronskiano com as funções específicas do item (a), vamos analisar o resultado:
- Se $ W \neq 0 $: As funções são linearmente independentes e, portanto, formam um sistema fundamental de soluções.
- Se $ W = 0 $: As funções são linearmente dependentes e não formam um sistema fundamental.
Resposta
Após calcular o Wronskiano das funções fornecidas no item (a) e verificar que ele é diferente de zero, concluímos que essas funções formam um sistema fundamental de soluções para a EDO dada: