Determine o raio de convergência e intervalo de convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-1 x^n n^3,

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências sumn=1^infty(-1)^n-1x^n n^3. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências, e vamos precisar usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois aplicar o teste da divergência para analisar os extremos do intervalo.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, chamamos an = (-1)^n-1n^3. Calculamos
L = limntoinfty | an+1 x^n+1an x^n | = limntoinfty (n+1)^3n^3 |x| = |x| limntoinfty l(1 + tfrac1nr)^3 = |x|
O teste da razão diz que a série converge se L<1, ou seja, |x|<1. Dessa forma, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Agora precisamos ver o que acontece em x=1 e x=-1. Quando x=1, o termo geral vira
(-1)^n-1,1^n,n^3 = (-1)^n-1n^3,
e n^3 não tende a zero, logo a série diverge pelo teste da divergência. Para x=-1, o termo geral é
(-1)^n-1(-1)^n n^3 = (-1)^2n-1n^3 = -n^3,
que também não tende a zero, logo diverge pelo mesmo motivo. Portanto, em ambos os extremos a série diverge.

Resposta

Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: (-1,,1).

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