Derive as funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a pergunta está pedindo é para derivar a função $ f(x) = x \ln x - x $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra do produto e a derivada de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar $ \ln x $ e como aplicar a regra do produto quando temos um produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
Aqui, temos dois termos:
1. $ x \ln x $
2. $ -x $
Vamos derivar cada um separadamente.
Passo 3
Começando com o primeiro termo $ x \ln x $. Esse é um produto de duas funções: $ u(x) = x $ e $ v(x) = \ln x $. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz:
Vamos aplicar isso aqui.
Passo 4
Calculando as derivadas das funções $ u(x) $ e $ v(x) $:
- Derivada de $ u(x) = x $:
- Derivada de $ v(x) = \ln x $:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos derivar o segundo termo $ -x $:
Porque a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1, e o sinal negativo fica.
Passo 7
Finalmente, juntando as derivadas dos dois termos:
Todas as outras constantes se cancelam.
Resposta
A derivada da função é: