Derive as funções abaixo.
(a) f(x)=x ln x-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a pergunta está pedindo é para derivar a função $ f(x) = x \ln x - x $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra do produto e a derivada de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar $ \ln x $ e como aplicar a regra do produto quando temos um produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
f(x) = x ln x - x
Aqui, temos dois termos:
1. $ x \ln x $
2. $ -x $
Vamos derivar cada um separadamente.

Passo 3

Começando com o primeiro termo $ x \ln x $. Esse é um produto de duas funções: $ u(x) = x $ e $ v(x) = \ln x $. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz:
x ln x
Vamos aplicar isso aqui.

Passo 4

Calculando as derivadas das funções $ u(x) $ e $ v(x) $:
  • Derivada de $ u(x) = x $: u(x)
    - Derivada de $ v(x) = \ln x $:
    v(x)

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
ddx(x ln x) = u' cdot v + u cdot v' = 1 cdot ln x + x cdot 1x
Simplificando:
ln x + 1

Passo 6

Agora, vamos derivar o segundo termo $ -x $:
-x
Porque a derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1, e o sinal negativo fica.

Passo 7

Finalmente, juntando as derivadas dos dois termos:
f'(x) = (ln x + 1) - 1 = ln x
Todas as outras constantes se cancelam.

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = ln x

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