Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2-5 d yd x+4 y=8 e^x
Encontre uma solução particular para a EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea de segunda ordem:
d^2 yd x^2 - 5 d yd x + 4 y = 8 e^x
A matéria que vamos usar envolve resolver EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar uma solução particular dessa equação, a gente vai precisar usar o método dos coeficientes a determinar, que basicamente é uma técnica para achar uma solução específica que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO não homogênea é composta por duas partes: a homogênea associada e o termo não homogêneo (no caso, 8 e^x). A solução geral da EDO é a soma da solução da homogênea + solução particular.
Então, vamos começar encontrando a solução da equação homogênea:
d^2 yd x^2 - 5 d yd x + 4 y = 0
Para isso, montamos a equação característica:
r^2 - 5r + 4 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^2 - 5r + 4 = 0
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
(r - 1)(r - 4) = 0
Assim, temos as raízes r1 = 1 e r2 = 4.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^x + C2 e^4x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias que determinam a solução geral.

Passo 5

Agora, vamos buscar a solução particular yp(x) para a EDO não homogênea:
d^2 yd x^2 - 5 d yd x + 4 y = 8 e^x
Como o termo não homogêneo é 8 e^x e e^x já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por x para evitar a duplicação. Então, vamos supor que:
yp(x) = A x e^x
Onde A é a constante que vamos determinar.

Passo 6

Vamos derivar yp(x) para encontrar as suas derivadas:
yp'(x) = A e^x + A x e^x
yp''(x) = 2A e^x + A x e^x
Substituindo na EDO:
2A e^x + A x e^x - 5(A e^x + A x e^x) + 4(A x e^x) = 8 e^x
Simplificando:
(2A - 5A) e^x + (A - 5A + 4A) x e^x = 8 e^x
-3A e^x + 0 cdot x e^x = 8 e^x
Igualando os coeficientes:
-3A = 8 implies A = -83
Então, a solução particular é:
yp(x) = -83 x e^x

Resposta

Uma solução particular para a EDO dada é:
yp(x) = -83 x e^x

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