Dada a EDO não-homogênea de
ordem
Encontre uma solução particular para a EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea de segunda ordem:
A matéria que vamos usar envolve resolver EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar uma solução particular dessa equação, a gente vai precisar usar o método dos coeficientes a determinar, que basicamente é uma técnica para achar uma solução específica que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma EDO não homogênea é composta por duas partes: a homogênea associada e o termo não homogêneo (no caso,
). A solução geral da EDO é a soma da solução da homogênea + solução particular.
Então, vamos começar encontrando a solução da equação homogênea:
Para isso, montamos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Assim, temos as raízes
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias que determinam a solução geral.
Passo 5
Agora, vamos buscar a solução particular
para a EDO não homogênea:
Como o termo não homogêneo é
e
já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar a duplicação. Então, vamos supor que:
Onde
é a constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos derivar
para encontrar as suas derivadas:
Substituindo na EDO:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
Uma solução particular para a EDO dada é: