O polinômio de Taylor de grau
de uma função
, classe
, na vizinhança de um ponto
é dado por
.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
quando:
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o polinômio de Taylor de grau 3 para a função $ f(x) = e^{x} $ em torno de $ a = 0 $. Para isso, vamos precisar entender o que é um polinômio de Taylor, qual a fórmula geral e como calcular as derivadas necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função que estamos trabalhando é $ f(x) = e^{x} $. Essa função é muito legal porque suas derivadas de qualquer ordem são iguais a ela mesma. Ou seja, $ f^{(n)}(x) = e^{x} $ para qualquer número inteiro $ n $.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau $ n $ para uma função $ f $, em torno de um ponto $ a $, é uma soma dos termos que envolvem as derivadas de $ f $ avaliadas em $ a $, multiplicadas por potências de $ (x - a) $ e divididas pelos fatoriais correspondentes. A fórmula geral é:
Passo 4
Como precisamos do polinômio de grau 3, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{x} $ até a terceira ordem:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ a = 0 $:
Passo 6
Com os valores das derivadas em mãos, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Substituindo os valores:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = e^{x} $ em torno de $ a = 0 $ é: