O polinômio de Taylor de grau n de uma função f, classe C^n, na vizinhança de um ponto a in Dom(f) é dado por
pn(x)=f(a)+f^prime(a)(x-a)+f^prime prime(a)2 !(x-a)^2+f^prime prime prime(a)3 !(x-a)^3+ldots+f^(n)(a)n !(x-a)^n.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 3 em torno de a quando:
(b) f(x)=e^x, a=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o polinômio de Taylor de grau 3 para a função $ f(x) = e^{x} $ em torno de $ a = 0 $. Para isso, vamos precisar entender o que é um polinômio de Taylor, qual a fórmula geral e como calcular as derivadas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função que estamos trabalhando é $ f(x) = e^{x} $. Essa função é muito legal porque suas derivadas de qualquer ordem são iguais a ela mesma. Ou seja, $ f^{(n)}(x) = e^{x} $ para qualquer número inteiro $ n $.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de grau $ n $ para uma função $ f $, em torno de um ponto $ a $, é uma soma dos termos que envolvem as derivadas de $ f $ avaliadas em $ a $, multiplicadas por potências de $ (x - a) $ e divididas pelos fatoriais correspondentes. A fórmula geral é:
n

Passo 4

Como precisamos do polinômio de grau 3, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = e^{x} $ até a terceira ordem:
f(x) = e^x

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ a = 0 $:
a = 0

Passo 6

Com os valores das derivadas em mãos, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
p3(x) = f(0) + f^prime(0)(x - 0) + f^primeprime(0)2!(x - 0)^2 + f^primeprimeprime(0)3!(x - 0)^3
Substituindo os valores:
p3(x) = 1 + 1 cdot x + 12x^2 + 16x^3

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = e^{x} $ em torno de $ a = 0 $ é:
f(x) = e^x

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