Dada a EDO não-homogênea de
ordem
Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea de segunda ordem:
O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs homogêneas e não homogêneas, encontrar a solução complementar e depois a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo do lado direito:
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica.
Passo 3
Escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para $ m $:
Os valores de $ m $ são números imaginários, o que significa que a solução complementar será baseada em funções trigonométricas.
Passo 4
A solução complementar, $ y_c $, é dada por:
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular, $ y_p $, para a equação não homogênea:
Como o lado direito é $ 2 \operatorname{sen}(3 x) $, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de $ y_p $:
Passo 7
Substituímos $ y_p $ e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Resposta
A solução geral da EDO dada é: