Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2+4 y=2 sen(3 x)
Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea de segunda ordem:
d^2 ydx^2 + 4 y = 2 sen(3 x)
O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDOs homogêneas e não homogêneas, encontrar a solução complementar e depois a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo do lado direito:
d^2 ydx^2 + 4 y = 0
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, usamos a equação característica.

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada:
m^2 + 4 = 0
Resolvendo para $ m $:
m
Os valores de $ m $ são números imaginários, o que significa que a solução complementar será baseada em funções trigonométricas.

Passo 4

A solução complementar, $ y_c $, é dada por:
yc
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular, $ y_p $, para a equação não homogênea:
yp
Como o lado direito é $ 2 \operatorname{sen}(3 x) $, vamos tentar uma solução particular da forma:
d^2 ydx^2 + 4 y = 2 sen(3 x)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de $ y_p $:
yp

Passo 7

Substituímos $ y_p $ e suas derivadas na equação original:
yp
Simplificando:
-9 A cos(3x) - 9 B sin(3x) + 4 (A cos(3x) + B sin(3x)) = 2 sen(3x)

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
-5 A = 0 Rightarrow A = 0 -5 B = 2 Rightarrow B = -25

Passo 9

Então, a solução particular é:
yp(x) = 0 cdot cos(3x) - 25 sin(3x) = -25 sin(3x)

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) - 25 sin(3x)

Resposta

A solução geral da EDO dada é:
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) - 25 sin(3x)

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