Use a continuidade da função logaritmo e a regra de LHôspital para calcular os limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas e a regra de L’Hôpital. Para isso, vamos usar a continuidade do logaritmo para simplificar o cálculo e aplicar a regra de L’Hôpital quando estivermos diante de uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a vida tirando o logaritmo natural do limite. Seja
, então aplicando o logaritmo natural dos dois lados temos:
Agora, nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Observamos que, conforme
cresce,
também cresce, mas
cresce muito mais rápido. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
, onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Então,
.
Resposta
Como
, então
. Portanto, o limite é
.