Use a continuidade da função logaritmo e a regra de LHôspital para calcular os limites.
(c) lim x infty x^1 / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x infty x^1 / x. O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas e a regra de L’Hôpital. Para isso, vamos usar a continuidade do logaritmo para simplificar o cálculo e aplicar a regra de L’Hôpital quando estivermos diante de uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a vida tirando o logaritmo natural do limite. Seja y = x^1/x, então aplicando o logaritmo natural dos dois lados temos:
ln(y) = ln(x^1/x) = 1x ln(x)
Agora, nosso objetivo é encontrar limx to infty ln(y).

Passo 3

Vamos calcular o limite de ln(x)x quando x tende ao infinito. Observamos que, conforme x cresce, ln(x) também cresce, mas x cresce muito mais rápido. Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo inftyinfty, onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
limx to infty ln(x)x = limx to infty 1/x1 = limx to infty 1x = 0
Então, limx to infty ln(y) = 0.

Resposta

Como ln(y) = 0, então y = e^0 = 1. Portanto, o limite é 1.

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