Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2-d yd x+y=2 sen(3 x)
Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem não homogênea que você enviou:
d^2 yd x^2 - d yd x + y = 2 sen(3 x)
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
d^2 yd x^2 - d yd x + y = 0
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma y = e^r x, onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
r^2 e^r x - r e^r x + e^r x = 0
Dividindo ambos os lados por e^r x (que nunca é zero):
r^2 - r + 1 = 0

Passo 3

Agora, temos a equação característica:
r^2 - r + 1 = 0
Vamos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara:
r = b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Onde a = 1, b = -1, e c = 1. Substituindo:
r = 1 pm raiz1 - 42 = 1 pm raiz-32 = 12 pm raiz32 i
Os valores de r são complexos, indicando que a solução homogênea será uma combinação de funções senoidais e exponenciais.

Passo 4

Com os valores de r complexos, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = e^12 x ( C1 cos(raiz32 x) + C2 sin(raiz32 x) )
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
d^2 yd x^2 - d yd x + y = 2 sen(3 x)
Como o lado direito é uma função seno, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp(x) = A cos(3x) + B sin(3x)
Onde A e B são constantes a serem determinados.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp(x):
d ypd x = -3A sin(3x) + 3B cos(3x)
d^2 ypd x^2 = -9A cos(3x) - 9B sin(3x)
Substituindo yp e suas derivadas na equação original:
(-9A cos(3x) - 9B sin(3x)) - (-3A sin(3x) + 3B cos(3x)) + (A cos(3x) + B sin(3x)) = 2 sin(3x)

Passo 7

Simplificando a equação:
-9A cos(3x) - 9B sin(3x) + 3A sin(3x) - 3B cos(3x) + A cos(3x) + B sin(3x) = 2 sin(3x)
Agrupando termos semelhantes:
(-9A - 3B + A) cos(3x) + (-9B + 3A + B) sin(3x) = 2 sin(3x)
Simplificando os coeficientes:
(-8A - 3B) cos(3x) + (-8B + 3A) sin(3x) = 2 sin(3x)

Passo 8

Para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de x, os coeficientes das funções cos(3x) e sin(3x) devem ser iguais nos dois lados da equação. Isso nos dá o sistema de equações:
-8A - 3B = 0 (1)
-8B + 3A = 2 (2)

Passo 9

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
-8A - 3B = 0 implies 8A + 3B = 0 implies 8A = -3B implies A = -38 B
Substituindo A na equação (2):
-8B + 3(-38 B) = 2
-8B - 98 B = 2
-738 B = 2 implies B = -1673
Agora, substituindo B em A = -38 B:
A = -38 (-1673) = 48584 = 673

Passo 10

Então, a solução particular é:
yp(x) = 673 cos(3x) - 1673 sin(3x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = e^12 x ( C1 cos(raiz32 x) + C2 sin(raiz32 x) ) + 673 cos(3x) - 1673 sin(3x)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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