Dada a EDO não-homogênea de
ordem
Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem não homogênea que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como encontrar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada e por uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, temos a equação característica:
Vamos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Substituindo:
Os valores de
são complexos, indicando que a solução homogênea será uma combinação de funções senoidais e exponenciais.
Passo 4
Com os valores de
complexos, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é uma função seno, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Passo 7
Simplificando a equação:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Para que a igualdade seja verdadeira para todos os valores de
, os coeficientes das funções
e
devem ser iguais nos dois lados da equação. Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 9
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Agora, substituindo
em
:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.