Encontre os pontos críticos das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de cálculo para encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = 4x^{3} - 9x^{2} - 12x + 3 $. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Usamos as regras de derivação para polinômios:
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero. Isso nos dará os valores de $ x $ onde a função tem possíveis pontos máximos ou mínimos.
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6 para facilitar:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver $ ax^{2} + bx + c = 0 $:
Onde $ a = 2 $, $ b = -3 $ e $ c = -2 $. Calculando o discriminante:
Portanto,
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x) = 4x^{3} - 9x^{2} - 12x + 3 $ são $ x = 2 $ e $ x = -0,5 $.