Encontre os pontos críticos das funções abaixo.
f(x)=4 x^3-9 x^2-12 x+3

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo para encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = 4x^{3} - 9x^{2} - 12x + 3 $. Pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Usamos as regras de derivação para polinômios:
f(x)
Calculando cada termo:
f'(x) = ddx(4x^3) - ddx(9x^2) - ddx(12x) + ddx(3)

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada é igual a zero. Isso nos dará os valores de $ x $ onde a função tem possíveis pontos máximos ou mínimos.
x

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6 para facilitar:
2x^2 - 3x - 2 = 0
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver $ ax^{2} + bx + c = 0 $:
ax^2 + bx + c = 0
Onde $ a = 2 $, $ b = -3 $ e $ c = -2 $. Calculando o discriminante:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Portanto,
a = 2
Isso nos dá duas soluções:
b = -3
c = -2

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x) = 4x^{3} - 9x^{2} - 12x + 3 $ são $ x = 2 $ e $ x = -0,5 $.

Exercícios relacionados