Dada a EDO não-homogênea de
ordem
Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que não é homogênea. A equação é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo não-homogêneo (neste caso,
):
Para resolver isso, vamos supor que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A equação é:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 4
Com esses valores de
, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo não-homogêneo é
, que já aparece na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação original:
Primeira derivada de
:
Segunda derivada de
:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso simplifica para:
Passo 8
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.