Dada a EDO não-homogênea de 2^ a ordem
d^2 yd x^2-5 d yd x+4 y=e^x
Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem que não é homogênea. A equação é:
d^2 yd x^2 - 5 d yd x + 4 y = e^x
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo não-homogêneo (neste caso, e^x):
d^2 yd x^2 - 5 d yd x + 4 y = 0
Para resolver isso, vamos supor que a solução tem a forma y = e^m x. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
m^2 - 5m + 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de m. A equação é:
m^2 - 5m + 4 = 0
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
(m - 1)(m - 4) = 0
Então, as soluções são:
m = 1 e m = 4

Passo 4

Com esses valores de m, podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
yh = C1 e^x + C2 e^4x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
d^2 yd x^2 - 5 d yd x + 4 y = e^x
Como o termo não-homogêneo é e^x, que já aparece na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
yp = A x e^x
onde A é uma constante que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação original:
Primeira derivada de yp:
d ypd x = A e^x + A x e^x
Segunda derivada de yp:
d^2 ypd x^2 = 2A e^x + A x e^x

Passo 7

Substituindo yp e suas derivadas na equação original:
(2A e^x + A x e^x) - 5 (A e^x + A x e^x) + 4 (A x e^x) = e^x
Simplificando:
2A e^x + A x e^x - 5A e^x - 5A x e^x + 4A x e^x = e^x
Agrupando os termos semelhantes:
(2A - 5A) e^x + (A - 5A + 4A) x e^x = e^x
Isso simplifica para:
-3A e^x + 0 cdot x e^x = e^x

Passo 8

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
-3A = 1 Rightarrow A = -13

Passo 9

Então, a solução particular é:
yp = -13 x e^x

Resposta

A solução geral da EDO dada é:
y = C1 e^x + C2 e^4x - 13 x e^x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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