Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=x^2+2x,[12, 2]

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e como resolver. Precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = x^{2} + \frac{2}{x} $ no intervalo f(x) = x^2 + 2x . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar pontos críticos onde esses extremos podem ocorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a determinar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem existir máximos ou mínimos.
A função é:
f(x)
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
f(x) = x^2 + 2x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ no intervalo x onde $ f’(x) = 0 $:
[12, 2]
Resolvendo a equação:
f'(x) = 0
Portanto, $ x = 1 $ é um ponto crítico.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos críticos e nos limites do intervalo para determinar os valores máximo e mínimo.
  • Em $ x = \frac{1}{2} $:
f(x)
  • Em $ x = 1 $:
x = 12
  • Em $ x = 2 $:
f(12) = (12)^2 + 212 = 14 + 4 = 4,25

Resposta

O valor mínimo absoluto de $ f $ no intervalo f é $ 3 $ e o valor máximo absoluto é $ 5 $.

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