Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e como resolver. Precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = x^{2} + \frac{2}{x} $ no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar pontos críticos onde esses extremos podem ocorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a determinar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde podem existir máximos ou mínimos.
A função é:
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ no intervalo
onde $ f’(x) = 0 $:
Resolvendo a equação:
Portanto, $ x = 1 $ é um ponto crítico.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função $ f(x) $ nos pontos críticos e nos limites do intervalo para determinar os valores máximo e mínimo.
- Em $ x = \frac{1}{2} $:
- Em $ x = 1 $:
- Em $ x = 2 $:
Resposta
O valor mínimo absoluto de $ f $ no intervalo
é $ 3 $ e o valor máximo absoluto é $ 5 $.