Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=2 x^3+3 x^2+4, [-2,1]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} + 4 $ no intervalo f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4 . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a determinar onde a função tem pontos de máximo ou mínimo.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesses pontos, a função pode ter máximos ou mínimos.
Resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Então, as soluções são:
6x^2 + 6x = 0 6x(x + 1) = 0

Passo 4

Com os pontos críticos encontrados ($ x = 0 $ e $ x = -1 x = 0 é x = -2 $ e $ x = 1 $), vamos calcular o valor da função $ f(x) $ em cada um desses pontos.
Calculando:
x = -1
x = -2
x = 1
f(x)

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
f(-2) = 0, f(-1) = 5, f(0) = 4, f(1) = 9
O maior valor é 9 em x = 1 e o menor valor é 0 em x = -2.

Resposta

O valor máximo absoluto de $ f $ no intervalo f é 9 em [-2, 1] e o valor mínimo absoluto é 0 em x = 1.

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