Encontre os pontos críticos das funções abaixo.
Passo 1
Então, temos que encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = \sqrt{3 + 2x - x^2} $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde vamos precisar derivar a função e encontrar onde a derivada é zero ou não está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os pontos críticos de uma função acontecem onde a derivada dela é zero ou não existe. Então, nosso objetivo é encontrar a derivada de $ f(x) $ e depois resolver $ f’(x) = 0 $ ou verificar onde $ f’(x) $ não existe.
Passo 3
Vamos derivar $ f(x) = \sqrt{3 + 2x - x^2} $. Para isso, usamos a regra da cadeia. Lembre-se que a derivada de $ \sqrt{u} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’ $. Aqui, $ u = 3 + 2x - x^2 $, então $ u’ = 2 - 2x $.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Podemos simplificar isso para:
Passo 5
Agora, queremos encontrar onde $ f’(x) = 0 $ ou onde $ f’(x) $ não existe.
Primeiro, vamos resolver $ \frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2x - x^2}} = 0 $. Isso acontece quando o numerador é zero:
Passo 6
Em seguida, analisamos onde $ f’(x) $ não existe. A derivada não existe quando o denominador é zero ou quando a função original não está definida.
A função $ f(x) = \sqrt{3 + 2x - x^2} $ está definida quando $ 3 + 2x - x^2 \geq 0 $. Resolvendo a inequação:
Fatorando:
Isso é verdade para $ x $ entre -1 e 3, inclusive.
Dentro desse intervalo, $ \sqrt{3 + 2x - x^2} $ nunca é zero, então a derivada só deixa de existir nas extremidades, mas essas não são consideradas pontos críticos internos.
Passo 7
Portanto, o único ponto crítico interno é $ x = 1 $.
Resposta
O ponto crítico da função $ f(x) = \sqrt{3 + 2x - x^2} $ é $ x = 1 $.