Dada a EDO
(e^3 y-y cos x y) d x+(3 x e^3 y-x cos x y+y^3) d y=0
em R^2.
(a) Verifique se tal EDO é Exata.
(b) Resolva tal EDO.

Passo 1

Nesse exercício estamos lidando com uma EDO da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, e vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução implícita. Para isso vamos usar o conceito de diferencial exata: se partial Mpartial y=partial Npartial x, existe uma função potencial F(x,y) tal que dF=M,dx+N,dy.

Passo 2

Primeiro identificamos as funções:
M(x,y)=e^3y-ycos(xy),
N(x,y)=3x e^3y-xcos(xy)+y^3
Agora calculamos as derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial x para checar a exatidão.

Passo 3

Calculando:
partial Mpartial y=3e^3y-partialpartial yl(ycos(xy)r) =3e^3y-cos(xy)+xysin(xy)
e
partial Npartial x=3e^3y-partialpartial xl(xcos(xy)r) =3e^3y-cos(xy)+xysin(xy)
Como são iguais, a EDO é exata.

Passo 4

Para encontrar a solução, integramos M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y)=integral M,dx =integrall(e^3y-ycos(xy)r)dx =xe^3y-underbraceyintegralcos(xy),dx=sin(xy)+h(y) =xe^3y-sin(xy)+h(y)
Aqui h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial Fpartial y=3x e^3y-xcos(xy)+h'(y) stackrel!=3x e^3y-xcos(xy)+y^3
Logo h'(y)=y^3, integrando:
h(y)=y^44
Portanto a solução implícita da EDO, incluindo a constante de integração C, é:

Resposta

x e^3y-sin(xy)+y^44=C

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