Dada a EDO de 1^ a Ordem
y^prime-y=2 x e^2 x
Resolva tal EDO.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 1ª ordem y′ − y = 2x e^{2x}. Esse tipo de equação tem a forma y′ + P(x)y = Q(x), e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Identificamos P(x) = -1 e Q(x) = 2x e^{2x}. O fator integrante μ(x) é dado por μ(x) = e^{∫P(x)
dx}, ou seja,
mu(x) = e^integral -1,dx = e^-x

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por μ(x):
e^-xy' - e^-xy = 2x e^2x e^-x = 2x e^x

Passo 4

O lado esquerdo agora é a derivada do produto e^{-x}y. Vamos escrever isso e integrar:
ddxl(e^-xyr) = 2x e^x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
e^-xy = integral 2x e^x,dx = 2l(xe^x - e^xr) + C = 2(x-1)e^x + C

Passo 6

Por fim, isolamos y multiplicando por e^{x}:
y = e^xl[2(x-1)e^x + Cr] = 2(x-1)e^2x + C e^x

Resposta

y(x) = C e^x + 2(x - 1)e^2x

Exercícios relacionados