Dada a EDO:
y^prime prime(t)-4 y(t)=e^t, y(0)=3, y^prime(0)=0
Aplicando a transformada de Laplace:
Ly^prime prime(t)=s^2 Y(s)-s y(0)-y^prime(0)=s^2 Y(s)-3 s Ly(t)=Y(s), Le^t=1s-1
Substituímos:
s^2 Y(s)-3 s-4 Y(s)=1s-1
Agrupamos:
(s^2-4) Y(s)=1s-1+3 s
Isolamos Y(s) :
Y(s)=1(s^2-4)(s-1)+3 ss^2-4
Fazemos a inversa termo a termo. O segundo termo:
3 ss^2-4=3 s(s-2)(s+2) Rightarrow L^-1=3 cosh (2 t)
Para o primeiro termo, fazemos frações parciais e aplicamos inversa:
L^-11(s^2-4)(s-1)=f1(t)
Somando:
y(t)=f1(t)+3 cosh (2 t)

Passo 1

Temos a EDO y''(t)-4y(t)=e^t com condições y(0)=3 e y'(0)=0. O conteúdo é a transformada de Laplace, que troca derivadas por funções algébricas em s, permitindo resolver a EDO por manipulação algébrica.

Passo 2

Já aplicamos a transformada de Laplace e chegamos a
Y(s)=1(s^2-4)(s-1)+3ss^2-4
Agora vamos inverter termo a termo.

Passo 3

Para o segundo termo usamos a propriedade Lcosh(at)=s/(s^2-a^2). Como
3ss^2-4=3cdotss^2-(2)^2,
temos

Passo 4

Para o primeiro termo
1(s-2)(s+2)(s-1)
vamos usar frações parciais:
1(s-2)(s+2)(s-1)=As-2+Bs+2+Cs-1
Cobertura de raízes dá
A=1/4, B=1/12, C=-1/3

Passo 5

Aplicando a inversa de cada parcela:
f1(t)=14e^2t+112e^-2t-13e^t

Passo 6

Somando com 3cosh(2t) e simplificando:
3cosh(2t)=32e^2t+32e^-2t,
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y(t)=l(32+14r)e^2t+l(32+112r)e^-2t-13e^t=74e^2t+1912e^-2t-13e^t

Resposta

y(t)=\frac{7}{4}e{2t}+\frac{19}{12}e{-2t}-\frac{1}{3}e^{t}

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