Dada a EDO:
Aplicando a transformada de Laplace:
Substituímos:
Agrupamos:
Isolamos
:
Fazemos a inversa termo a termo. O segundo termo:
Para o primeiro termo, fazemos frações parciais e aplicamos inversa:
Somando:
Passo 1
Temos a EDO
com condições
e
. O conteúdo é a transformada de Laplace, que troca derivadas por funções algébricas em
, permitindo resolver a EDO por manipulação algébrica.
Passo 2
Já aplicamos a transformada de Laplace e chegamos a
Agora vamos inverter termo a termo.
Passo 3
Para o segundo termo usamos a propriedade
. Como
temos
Passo 4
Para o primeiro termo
vamos usar frações parciais:
Cobertura de raízes dá
Passo 5
Aplicando a inversa de cada parcela:
Passo 6
Somando com
e simplificando:
logo
Resposta
y(t)=\frac{7}{4}e{2t}+\frac{19}{12}e{-2t}-\frac{1}{3}e^{t}