Encontre a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=sen(a t), a constante real.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a Transformada de Laplace de f(t)=sen(a t), onde a é uma constante real. O conteúdo aqui é a definição de Transformada de Laplace e alguma técnica de cálculo de integrais improprias.

Passo 2

A definição que vamos usar é
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
No nosso caso f(t)=sen(a t), então precisamos avaliar
integral0^inftye^-stsin(a t),dt

Passo 3

Uma forma elegante é usar a representação de sinus via exponenciais complexas:
sin(a t)=e^i a t-e^-i a t2i
Assim
integral0^inftye^-stsin(a t),dt=12iintegral0^inftye^-stl(e^i a t-e^-i a tr)dt

Passo 4

Agora separamos em duas integrais de expoenciais:
integral0^inftye^-ste^i a tdt=integral0^inftye^-(s-i a)tdt=1s-i a, s>0
integral0^inftye^-ste^-i a tdt=1s+i a

Passo 5

Substituindo de volta e simplificando:
Lsin(a t)(s)=12il(1s-i a-1s+i ar)
Calculando a diferença:
1s-i a-1s+i a=(s+i a)-(s-i a)(s-i a)(s+i a)=2i as^2+a^2
Logo
Lsin(a t)(s)=12icdot2i as^2+a^2=as^2+a^2

Passo 6

Pronto! Chegamos na expressão clássica da Transformada de Laplace de sen(a t).

Resposta

as^2+a^2

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