Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
:
Se possível, encontre o termo geral (padrão) em cada solução.
Se possível, encontre o termo geral (padrão) em cada solução.
Passo 1
Estamos com a EDO
querendo a solução em série de potências em torno de
Passo 2
Supondo uma solução do tipo
então
$$y’(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1},
$$
$$y’’(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}.
$$
Vamos substituir na EDO.
Vamos substituir na EDO.
Passo 3
Ao substituir em
obtém-se, agrupando potências de
$$m(m-1)a_m+2(m+2)(m+1)a_{m+2}+3m a_m -a_m=0.
$$
Passo 4
As condições iniciais em série dizem:
$$y(0)=a_0=1,
$$
$$y’(0)=a_1=-2.
$$
$$a_3=-\frac{1^2+2-1}{2\cdot3\cdot2}a_1=\tfrac13,
$$
$$a_4=-\frac{2^2+4-1}{2\cdot4\cdot3}a_2=-\tfrac7{96},
$$
$$a_5=-\frac{3^2+6-1}{2\cdot5\cdot4}a_3=-\tfrac7{60}.
$$
Passo 5
Observamos que existem duas séries independentes (índices pares e ímpares). O termo geral pode ser escrito em produto de fatores: para
$$a_{2k}=(-1)k\Biggl(\prod_{j=0}{k-1}\frac{(2j)^2+2(2j)-1}{2(2j+2)(2j+1)}\Biggr)a_0,
$$
$$a_{2k+1}=(-1)k\Biggl(\prod_{j=0}{k-1}\frac{(2j+1)^2+2(2j+1)-1}{2(2j+3)(2j+2)}\Biggr)a_1.
$$
Passo 6
Portanto a solução que satisfaz
,
fica dada por
$$y(x)=\sum_{k=0}^\infty a_{2k}x{2k}+\sum_{k=0}\infty a_{2k+1}x^{2k+1},
$$
com os dados acima.
com os
Resposta
A solução em série é
com recorrência
e termos iniciais
,
. O termo geral pode ser expresso por