Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0 :
Se possível, encontre o termo geral (padrão) em cada solução.
(x^2+2) y^prime prime+3 x y^prime-y=0, y(0)=1, y(0)=-2 ( Note que x0=0)

Passo 1

Estamos com a EDO
(x^2+2)y''+3xy'-y=0
querendo a solução em série de potências em torno de x0=0. Vamos usar o método de Frobenius/expansão em série comum e aplicar condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-2.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo
y(x)= sumn=0^infty an x^n,
então
$$y’(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1},
$$
$$y’’(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}.
$$
Vamos substituir na EDO.

Passo 3

Ao substituir em
(x^2+2)y''+3xy'-y=0
obtém-se, agrupando potências de x^m:
$$m(m-1)a_m+2(m+2)(m+1)a_{m+2}+3m a_m -a_m=0.
m(m-1)am+2(m+2)(m+1)am+2+3m am -am=0 áê2(m+2)(m+1)a_{m+2}+(m^2+2m-1)a_m=0,
2(m+2)(m+1)am+2+(m^2+2m-1)am=0, a_{m+2}=-\frac{m^2+2m-1}{2(m+2)(m+1)},a_m.
$$

Passo 4

As condições iniciais em série dizem:
$$y(0)=a_0=1,
$$
$$y’(0)=a_1=-2.
y(0)=a0=1, êa_2=-\frac{-1}{2\cdot2\cdot1}a_0=\tfrac14,
$$
$$a_3=-\frac{1^2+2-1}{2\cdot3\cdot2}a_1=\tfrac13,
$$
$$a_4=-\frac{2^2+4-1}{2\cdot4\cdot3}a_2=-\tfrac7{96},
$$
$$a_5=-\frac{3^2+6-1}{2\cdot5\cdot4}a_3=-\tfrac7{60}.
$$

Passo 5

Observamos que existem duas séries independentes (índices pares e ímpares). O termo geral pode ser escrito em produto de fatores: para k>=0
$$a_{2k}=(-1)k\Biggl(\prod_{j=0}{k-1}\frac{(2j)^2+2(2j)-1}{2(2j+2)(2j+1)}\Biggr)a_0,
$$
$$a_{2k+1}=(-1)k\Biggl(\prod_{j=0}{k-1}\frac{(2j+1)^2+2(2j+1)-1}{2(2j+3)(2j+2)}\Biggr)a_1.
$$

Passo 6

Portanto a solução que satisfaz y(0)=1, y'(0)=-2 fica dada por
$$y(x)=\sum_{k=0}^\infty a_{2k}x{2k}+\sum_{k=0}\infty a_{2k+1}x^{2k+1},
$$
com os y(x)=sumk=0^infty a2kx^2k+sumk=0^infty a2k+1x^2k+1, dados acima.

Resposta

A solução em série é
y(x)=1-2x+tfrac14x^2+tfrac13x^3-tfrac796x^4-tfrac760x^5+cdots,
com recorrência
am+2=-m^2+2m-12(m+2)(m+1),am,
e termos iniciais a0=1, a1=-2. O termo geral pode ser expresso por
a2k=(-1)^kprodj=0^k-14j^2+4j-12(2j+2)(2j+1), a2k+1=(-1)^kprodj=0^k-14j^2+8j+22(2j+3)(2j+2)(-2)

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