Encontre a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Mostre por indução que se
, então
Mostre por indução que se
Passo 1
Estamos querendo a transformada de Laplace de f(t)=t^n usando indução. O conteúdo que precisamos é a definição da transformada de Laplace e a técnica de integração por partes.
Passo 2
Base da indução (n=0):
Para n=0 temos f(t)=t^0=1, então
Como 0!=1 e s^{0+1}=s, isso confirma F(s)=0! / s^{0+1}.
Passo 3
Passo de indução: suponha que para algum k≥0 valha
Queremos mostrar o caso k+1.
Passo 4
Indução propriamente dita (integração por partes):
Calcule
Escolha u=t^{k+1} ⇒ du=(k+1)t^k dt e dv=e^{-st}dt ⇒ v=-\tfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
O termo de fronteira vale zero porque e^{-st} domina t^{k+1} em ∞ e em 0 t^{k+1}=0. Então
Isso fecha o passo de indução.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo n∈ℕ.
Resposta
Para toda n∈ℕ e s>0 vale