Encontre a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Mostre por indução que se f(t)=t^n, t>0, então F(s)=ns^n+1, n in N, s>0

Passo 1

Estamos querendo a transformada de Laplace de f(t)=t^n usando indução. O conteúdo que precisamos é a definição da transformada de Laplace e a técnica de integração por partes.

Passo 2

Base da indução (n=0):
Para n=0 temos f(t)=t^0=1, então
F(s)=integral0^infty1cdot e^-st,dt=[-1se^-st]0^infty=1s
Como 0!=1 e s^{0+1}=s, isso confirma F(s)=0! / s^{0+1}.

Passo 3

Passo de indução: suponha que para algum k≥0 valha
Lt^k(s)=integral0^inftyt^k e^-st,dt=k!s^k+1
Queremos mostrar o caso k+1.

Passo 4

Indução propriamente dita (integração por partes):
Calcule
integral0^inftyt^k+1e^-st,dt
Escolha u=t^{k+1} ⇒ du=(k+1)t^k dt e dv=e^{-st}dt ⇒ v=-\tfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
integral0^inftyt^k+1e^-st,dt=l[-t^k+1se^-str]0^infty+k+1sintegral0^inftyt^k e^-st,dt
O termo de fronteira vale zero porque e^{-st} domina t^{k+1} em ∞ e em 0 t^{k+1}=0. Então
integral0^inftyt^k+1e^-st,dt=k+1scdotk!s^k+1=(k+1)!s^(k+1)+1
Isso fecha o passo de indução.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo n∈ℕ.

Resposta

Para toda n∈ℕ e s>0 vale
Lt^n(s)=n!s^n+1

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