(2,0) Resolva o problema de valor inicial.
l d yd x=2 yx-x^2 y^2 y(1)=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial:
dydx = 2yx - x^2y^2
E a condição inicial é $ y(1) = 1 $. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método de Bernoulli, que é uma técnica para resolver equações diferenciais não lineares que podem ser transformadas em equações lineares.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para se parecer mais com a forma padrão da equação de Bernoulli:
dydx - 2yx = -x^2y^2
Aqui, identificamos que a equação está na forma:
dydx + P(x)y = Q(x)y^n
onde $ P(x) = -\frac{2}{x} $, $ Q(x) = -x^{2} $ e $ n = 2 $.

Passo 3

No método de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação não linear em uma linear. Definimos:
z = y^1 - n = y^-1
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
x

Passo 4

Vamos substituir dydx da equação original na expressão para dzdx:
dzdx = -y^-2 ( 2yx - x^2y^2 )
Simplificando:
dzdx = -2x y^-1 + x^2
Mas sabemos que $ z = y^{-1} $, então:
z = y^-1

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em termos de $ z $:
z
onde $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} $. Para resolver essa equação, usamos um fator integrante $ \mu(x) $, dado por:
dzdx + P(x)z = Q(x)

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) = x^{2} $:
mu(x) = x^2
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x)z $:
x^2 dzdx + 2x z = x^4

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
O que resulta em:
integral ddx(x^2 z) dx = integral x^4 dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para $ z $:
z
Lembrando que $ z = y^{-1} $:
z = x^55x^2 + Cx^2 = x^35 + Cx^2

Passo 9

Aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
y(1) = 1
Resolvendo para $ C $:
C

Passo 10

Substituindo $ C $ de volta na expressão para $ y $:
C

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = 5x^2x^5 + 4

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