Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial:
E a condição inicial é $ y(1) = 1 $. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar o método de Bernoulli, que é uma técnica para resolver equações diferenciais não lineares que podem ser transformadas em equações lineares.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para se parecer mais com a forma padrão da equação de Bernoulli:
Aqui, identificamos que a equação está na forma:
onde $ P(x) = -\frac{2}{x} $, $ Q(x) = -x^{2} $ e $ n = 2 $.
Passo 3
No método de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação não linear em uma linear. Definimos:
Então, derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão para
:
Simplificando:
Mas sabemos que $ z = y^{-1} $, então:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em termos de $ z $:
onde $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} $. Para resolver essa equação, usamos um fator integrante $ \mu(x) $, dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) = x^{2} $:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x)z $:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
O que resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para $ z $:
Lembrando que $ z = y^{-1} $:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
Resolvendo para $ C $:
Passo 10
Substituindo $ C $ de volta na expressão para $ y $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: