Dada a EDO
, determine sua solução geral. As soluções são periódicas?
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e perguntar se as soluções são periódicas. Vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Formamos o polinômio característico substituindo
por
. Isso dá
. Resolvendo, obtemos as raízes
, logo
e
.
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
com
e
, a solução geral é dada por combinação linear de
e
:
.
Passo 4
Para verificar a periodicidade, lembramos que
e
têm período
. Como qualquer combinação linear delas também repete a cada
, as soluções são periódicas de período
.
Resposta
A solução geral é
. Todas as soluções são periódicas de período
.