Dada a EDO y^prime prime+4 y=0, determine sua solução geral. As soluções são periódicas?

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + 4y = 0 e perguntar se as soluções são periódicas. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo y por e^lambda x. Isso dá lambda^2 + 4 = 0. Resolvendo, obtemos as raízes lambda^2 = -4, logo lambda = 2i e lambda = -2i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=2, a solução geral é dada por combinação linear de cos(2x) e sin(2x): y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x).

Passo 4

Para verificar a periodicidade, lembramos que cos(2x) e sin(2x) têm período T = 2pi2 = pi. Como qualquer combinação linear delas também repete a cada pi, as soluções são periódicas de período pi.

Resposta

A solução geral é y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x). Todas as soluções são periódicas de período pi.

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