Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de
em
. (b) Determine a equação da tangente em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, especificamente de derivadas. A missão é usar a Definição (3.1) para encontrar o coeficiente angular da tangente ao gráfico da função $ f(x) = 3 - 2x^{2} $ no ponto $ P(a, f(a)) $. Depois, a gente também vai determinar a equação dessa tangente no ponto $ P(2, f(2)) $. Então, para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas usando a definição de limite e aplicar isso para achar a inclinação da reta tangente e a própria equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ no ponto $ a $, representada por $ f’(a) $, é o limite da taxa de variação de $ f $ em relação a $ x $ quando $ x $ se aproxima de $ a $. Em termos de fórmula, isso fica:
Essa definição nos dá o coeficiente angular da tangente à curva de $ f $ no ponto $ P(a, f(a)) $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a função dada $ f(x) = 3 - 2x^{2} $. Primeiro, precisamos substituir $ f(x) $ e $ f(a) $ na fórmula da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador da fração:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Podemos fatorar a expressão no numerador para facilitar o limite:
Substituindo de volta na derivada:
Passo 6
Note que $ a - x = -(x - a) $, então podemos reescrever:
Passo 7
Agora, o termo $ (x - a) $ no numerador e denominador cancela, e o limite se torna:
Então, o coeficiente angular da tangente no ponto $ P(a, f(a)) $ é $ f’(a) = -4a $.
Passo 8
Para a parte (b), queremos a equação da tangente no ponto $ P(2, f(2)) $. Primeiro, vamos calcular $ f(2) $:
Então, o ponto é $ P(2, -5) $.
Passo 9
Agora, usamos o coeficiente angular que encontramos: $ f’(a) = -4a $. Substituindo $ a = 2 $:
Esse é o coeficiente angular da tangente no ponto $ P(2, -5) $.
Passo 10
Para achar a equação da reta tangente, usamos a forma da equação da reta: $ y = m(x - x_{0}) + y_{0} $, onde $ m $ é o coeficiente angular e $ (x_{0}, y_{0}) $ é o ponto de tangência.
Substituindo $ m = -8 $, $ x_{0} = 2 $ e $ y_{0} = -5 $:
Passo 11
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação da tangente à curva de $ f(x) = 3 - 2x^{2} $ no ponto $ P(2, -5) $ é: