Dada a edo
-2 y+(x+y^3x) d yd x=0
Mostre que a equação não é exata e que mu(x)=x / y^2 é um fator integrante para a edo.

Passo 1

A equação dada
-2y + l(x + y^3xr)dydx = 0,
é do tipo “exata ou com fator integrante”. Vamos precisar identificar as funções M(x,y) e N(x,y), usar derivadas parciais para testar exatidão e, depois, verificar um fator integrante.

Passo 2

Da forma padrão M(x,y) + N(x,y),dydx=0 lemos
M(x,y) = -2y,
N(x,y) = x + y^3x
Calculamos
partial Mpartial y = -2,
partial Npartial x = 1 - y^3x^2
Como -2 neq 1 - y^3/x^2, a equação NÃO é exata.

Passo 3

Para encontrar um fator integrante, propomos
mu(x,y) = xy^2
Multiplicando a EDO original por mu obtemos
tilde M = Mmu = -2y cdot xy^2 = -2xy,
tilde N = Nmu = l(x+y^3xr)xy^2 = x^2y^2 + y

Passo 4

Checamos a exatidão da nova equação tilde M,dx + tilde N,dy = 0:
partial tilde Mpartial y = 2xy^2,
partial tilde Npartial x = 2xy^2
Como as derivadas parciais coincidem, a equação fica exata e, portanto, mu(x,y)=x/y^2 é um fator integrante.

Passo 5

Resposta

mu(x,y)=xy^2 é um fator integrante para a EDO dada.

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