Dada a EDOLÑH e uma solução y1 da EDOLH associada, resolva as equações:
(x^2-1) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=x^2-1, y1(x)=x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
(x^2-1),y''-2x,y'+2y = x^2-1
sabendo que uma solução da homogênea associada é y1(x)=x. Trata-se de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis, em que faremos: (i) divisão para o formato padrão, (ii) achar a segunda solução da homogênea por redução de ordem, (iii) montar a geral da homogênea e (iv) obter uma particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Dividindo por x^2-1, escrevemos no formato
y'' + p(x),y' + q(x),y = r(x),
com
p(x) = -2xx^2-1, q(x)=2x^2-1, r(x)=1
Para a homogênea y''+p,y'+q,y=0 usamos redução de ordem. A fórmula é
y2 = y1,integral e^-integral p(x),dxy1^2,dx
Calculamos
integral p(x),dx = integral l(-2xx^2-1r)dx = -lnl|x^2-1r|,
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e^-integral p,dx = x^2-1
Então
y2 = x integral x^2-1x^2,dx = xintegrall(1 - 1x^2r)dx = xl(x + tfrac1xr) = x^2+1

Passo 3

A solução geral da homogênea é
yh(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x) = C1,x + C2,(x^2+1)

Passo 4

Para a solução particular usamos variação de parâmetros. O Wronskiano de y1,y2 é
W = x & x^2+1 1 & 2x = xcdot2x - (x^2+1)cdot1 = x^2-1
As fórmulas dizem
yp = -y1!integral y2,r(x)W,dx +y2!integral y1,r(x)W,dx
Como r(x)=1, definimos
I1 = integralx^2+1x^2-1,dx, I2 = integralxx^2-1,dx

Passo 5

Calculamos as integrais:
x^2+1x^2-1 =1+2x^2-1, integral2x^2-1,dx = ln!l|x-1x+1r|,
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I1 = x + ln!l|x-1x+1r|
E
I2 =tfrac12lnl|x^2-1r|
Assim
yp = -,xl(x+lnx-1x+1r) + (x^2+1),tfrac12lnl|x^2-1r|
Reescrevendo num forma mais compacta, obtém-se
yp = (x-1)^22lnl|x-1r| + (x+1)^22lnl|x+1r| - x^2

Resposta

boxed y(x) = C1,x + C2,(x^2+1) + (x-1)^22ln!l|x-1r| + (x+1)^22ln!l|x+1r| - x^2

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