Dada a EDOLÑH e uma solução da EDOLH associada, resolva as equações: .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea
sabendo que uma solução da homogênea associada é . Trata-se de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes variáveis, em que faremos: (i) divisão para o formato padrão, (ii) achar a segunda solução da homogênea por redução de ordem, (iii) montar a geral da homogênea e (iv) obter uma particular por variação de parâmetros.
Passo 2
Dividindo por , escrevemos no formato
com
Para a homogênea usamos redução de ordem. A fórmula é
Calculamos
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e^-integral p,dx = x^2-1
Então
y2 = x integral x^2-1x^2,dx = xintegrall(1 - 1x^2r)dx = xl(x + tfrac1xr) = x^2+1
Passo 3
A solução geral da homogênea é
yh(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x) = C1,x + C2,(x^2+1)
Passo 4
Para a solução particular usamos variação de parâmetros. O Wronskiano de y1,y2 é
W = x & x^2+1 1 & 2x = xcdot2x - (x^2+1)cdot1 = x^2-1